合成関数の2次偏導関数

■問題

$z = f (x, y), x = t - sin t, y = 1 - cos t$ のとき， $\frac{d^{2} z}{d t^{2}}$ を求めよ．

■答

$f_{y y} {(1 - \cos t)}^{2} + 2 f_{x y} (1 - \cos t) \sin t$ $+ f_{y y} \sin^{2} t + f_{x} \sin t + f_{y} \cos t$

■ヒント

$x$ ， $y$ を $t$ で2回微分する．求めた式を合成関数の2次偏導関数の公式に代入する．

■解説

$x$ を $t$ で微分すると

$\frac{d x}{d t} = 1 - cos t$

これを更に $t$ で微分すると，

$\frac{d^{2} x}{d^{2} y} = \frac{d}{d t} (\frac{d x}{d y}) = \frac{d}{d t} (1 - \cos t)$ $= \sin t$

同様の手順で $y$ を $t$ で2階微分をすると

$\frac{d y}{d t} = sin t$

$\frac{d^{2} y}{d t^{2}} = \frac{d}{d t} (\frac{d y}{d t}) = \frac{d}{d t} (sin t) = cos t$

となる．

以上より，合成関数の2次偏導関数は

$\frac{d^{2} z}{d t^{2}} = f_{x x} {(\frac{d x}{d t})}^{2} + 2 f_{x y} \frac{d x}{d t} \frac{d y}{d t} + f_{y y} {(\frac{d y}{d t})}^{2} + f_{x} \frac{d^{2} x}{d t^{2}} + f_{y} \frac{d^{2} y}{d t^{2}}$

$= f_{x x} {(1 - cos t)}^{2} + 2 f_{x y} (1 - cos t) sin t + f_{y y} {sin}^{2} t + f_{x} sin t + f_{y} cos t$

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最終更新日： 2023年8月29日