2次の偏微分

■問題

${\displaystyle z=f\left(x,y\right)}$，${\displaystyle x=2t^2-3}$，${\displaystyle y=t^2+3t+7}$ のとき， ${\displaystyle \frac{d^{2}z}{d{t}^2}}$ を求めよ．

■答

${\displaystyle 16t^2{f}_{xx}+8t\left(2t+3\right)f_{xy}+f_{yy}{\left(2t+3\right)}^2+4f_x+2f_y}$

■ヒント

${\displaystyle x}$， ${\displaystyle y}$ を ${\displaystyle t}$ で2回微分する．求めた式を合成関数の2次偏導関数の公式に 代入する．

■解説

${\displaystyle x}$ を ${\displaystyle t}$ で微分すると，

${\displaystyle \frac{dx}{dt}=4t}$

これを更に${\displaystyle t}$ で微分すると，

${\displaystyle \frac{d^{2}x}{d{t}^2}=\frac{d}{dt}\left(\frac{dx}{dt}\right)=\frac{d}{dt}\left(4t\right)=4}$

同様の手順で ${\displaystyle y}$ を ${\displaystyle t}$ で微分をすると

${\displaystyle \frac{dy}{dt}}=2t+3$

更に， ${\displaystyle y}$ を ${\displaystyle t}$ で微分する． 

${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{t}^2}=\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dt}\right)=\frac{d}{dt}\left(2t+3\right)=2}$

以上より

${\displaystyle \frac{d^{2}z}{d{t}^2}=f_{xx}{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+2f_{xy}\frac{dx}{dt}\frac{dy}{dt}+f_{yy}{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2+f_x\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+f_y\frac{d^{2}y}{d{t}^2}}$

${\displaystyle =f_{xx}{\left(4t\right)}^2+2f_{xy}4t\left(2t+3\right)+f_{yy}{\left(2t+3\right)}^2+4f_x+2f_y}$

${\displaystyle =f_{xx}16t^2+8t\left(2t+3\right)f_{xy}+f_{yy}{\left(2t+3\right)}^2+4f_x+2f_y}$

${\displaystyle =16t^2{f}_{xx}+8t\left(2t+3\right)f_{xy}+f_{yy}{\left(2t+3\right)}^2+4f_x+2f_y}$

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最終更新日： 2013年8月14日