問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

２変数関数の極値の問題

■問題

${\displaystyle f\left(x,y\right)=2x^3-2y^2-2xy}$ の極値を求めよ．

■答

${\displaystyle x=-\frac{1}{6}}$ ，${\displaystyle y=\frac{1}{12}}$ のとき極大値${\displaystyle \frac{1}{216}}$

■ヒント

関数の極値

■解き方

${\displaystyle f_x\left(x,y\right)=6x^2-2y}$ ，${\displaystyle f_y\left(x,y\right)=-4y-2x}$ より，連立方程式

${\displaystyle \{\begin{array}{c}6x^2-2y=0\\ -4y-2x=0\end{array}}$

を解くと，${\displaystyle x=0}$ ，${\displaystyle y=0}$ ，または${\displaystyle x=-\frac{1}{6}}$ ，${\displaystyle y=\frac{1}{12}}$ を得る．

ところで，

${\displaystyle A=f_{xx}\left(x,y\right)=12x}$，${\displaystyle B=f_{xy}\left(x,y\right)=-2}$ ， ${\displaystyle C=f_{yy}\left(x,y\right)=-4}$ より

${\displaystyle D=B^2-AC=4+48x=4(1+12x)}$  

となる．したがって

${\displaystyle x=0}$ ，${\displaystyle y=0}$ のとき，${\displaystyle D=4>0}$ となり極値をとらない．

${\displaystyle x=-\frac{1}{6}}$ ，${\displaystyle y=\frac{1}{12}}$ のとき，${\displaystyle D=-4<0}$，${\displaystyle A=-2<0}$ だから，このとき${\displaystyle f\left(-\frac{1}{6},\frac{1}{12}\right)=\frac{1}{216}}$ は極大値である．

　

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最終更新日： 2024年5月28日

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