逆関数に関する問題

■問題

$y = \frac{3 x - 1}{2 x - 1} (x > \frac{1}{2})$ の逆関数を求めよ．

■答

$y = \frac{3 x - 1}{2 x - 1}$ $= \frac{\frac{3}{2} (2 x - 1) + \frac{1}{2}}{2 x - 1}$ $= \frac{3}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 x - 1}$ $= \frac{3}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 (x - \frac{1}{2})}$

$y - \frac{3}{2} = \frac{1}{4 (x - \frac{1}{2})}$

よって， $y = \frac{3 x - 1}{2 x - 1}$ のグラフは

$y = \frac{1}{4 x}$ のグラフを $x$ 軸方向に $\frac{1}{2}$ ， $y$ 軸方向に $\frac{3}{2}$ 平行移動したもの

である．

$x > \frac{1}{2}$ なので，値域は $y > \frac{3}{2}$ となる．

$x$ について解くと

$y (2 x - 1) = 3 x + 1$

$2 x y - y = 3 x + 1$

$2 x y - 3 x = y + 1$

$x (2 y - 3) = y + 1$

$x = \frac{y + 1}{2 y - 3}$

よって， $x$ と $y$ を入れ替えて逆関数は

$y = \frac{x + 1}{2 x - 3} (x > \frac{3}{2})$

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学生スタッフ
最終更新日： 2024年9月13日