円のグラフと楕円のグラフとの関係に関する問題

■問題

$x^{2} + y^{2} = 1$ $x^{2} + y^{2} = 1$ の円のグラフを原点を中心として， $x$ $x$ 軸方向に2倍， $y$ $y$ 軸方向に3倍した（拡大した）グラフを表す式を求めよ．

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

関数 $y = f (x)$ $y = f (x)$ のグラフを原点を中心として， $x$ $x$ 軸方向に $c$ $c$ 倍， $y$ $y$ 軸方向に $d$ $d$ 倍したグラフを表す関数は

$\frac{y}{d} = f (\frac{x}{c})$ $\frac{y}{d} = f (\frac{x}{c})$ 　

となる(グラフの拡大を参照)．今回は

$c = 2$ $c = 2$ ， $d = 3$ $d = 3$

に対応する．よって $x^{2} + y^{2} = 1$ $x^{2} + y^{2} = 1$ を

$x \to \frac{x}{2}$ $x \to \frac{x}{2}$ ， $y \to \frac{y}{3}$ $y \to \frac{y}{3}$

に書き換えて

${(\frac{x}{3})}^{2} + {(\frac{y}{2})}^{2} = 1$ ${(\frac{x}{3})}^{2} + {(\frac{y}{2})}^{2} = 1$

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

となる．これが求める関数で楕円の方程式になっている．

円を拡大変形すると楕円になる．

最終更新日： 2024年9月13日