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応用分野: 円と直線の図形の特徴円と直線の関係方程式
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円の方程式

  1. 中心:原点,半径:r  の円の方程式
  2. 中心:C(a,b),半径:r  の円の方程式
  3. 原点Oと点Q(a,b)を結ぶ直線OPを直径とする円の方程式
  4. 複素数を用いた円の方程式

■中心:原点,半径:r  の円の方程式

x 2 + y 2 = r 2

r θ を使って円周上の点Pを表すと

{ x = r cos θ y = r sin θ

となる.

x 2 + y 2 = ( r cos θ ) 2 + ( r sin θ ) 2 = r 2 ( cos 2 θ + sin 2 θ ) = r 2

■中心:C(a,b),半径:r  の円の方程式[topへ]

( x a ) 2 + ( y b ) 2 = r 2

r θ を使って円周上の点Pを表すと

{ x = a + r cos θ y = b + r sin θ

となる.

( x a ) 2 + ( y b ) 2 = ( a + r cos θ a ) 2 + ( b + r sin θ b ) 2

 

■原点Oと点Q(a,b)を結ぶ直線OPを直径とする円の方程式[topへ]

( x a 2 ) 2 + ( y b 2 ) 2 = a 2 + b 2 4

●式の導出 その1

 円周角の定理より OPQ = 90 °
よって, OP , QP 内積は, OP · QP = 0  となる.
この関係を,ベクトルの成分で表すと

OP = ( x , y ) , QP = ( x a , y b )

より

x ( x a ) + y ( y b ) = 0

となる.上記のような円の方程式の形に変形すると

( x a 2 ) 2 + ( y b 2 ) 2 = a 2 + b 2 4

となる.

 これが求める円の方程式である.

中心の座標は, ( a 2 , b 2 ) ,半径は, a 2 + b 2 2 となる.

 内積を用いて円の方程式を導く方法は重要である.

●式の導出 その2

 三平方の定理を用いて方程式を導くこともできます.

OQ 2 = OP 2 + QP 2 より

a 2 + b 2 = x 2 + y 2 + ( x a ) 2 + ( y b ) 2

a 2 + b 2 = x 2 + y 2 + x 2 2 a x + a 2 + y 2 2 b y + b 2

0 = 2 ( x 2 a x + y 2 b y )

x 2 a x + y 2 b y = 0

( x a 2 ) 2 + ( y b 2 ) 2 = a 2 + b 2 4

■複素数を用いた円の方程式[topへ]

● 複素平面上において,原点Oを中心とする半径  r  の 円の方程式

 複素数を z = x + y i   とすると

| z | = r   ( r = x 2 + y 2

極形式で表すと

z = r ( cos θ + i sin θ )

となる.

 

● 複素平面上において,点C( α = a + b i  )を中心とする半径  r   の 円の方程式

複素数を z = x + y i   とすると

| z α | = r

| ( x y i ) ( a + b i ) | = r

| ( x a ) + ( y b ) i | = r

ただし, ( r = ( x a ) 2 + ( y b ) 2 )

となる.

● 複素平面において,点A( α = a + b i )と点B( β = c + d i )があり,線分ABを直径とする円の方程式

 複素数を z = x + y i   とすると

arg z α z β = ± 90 °

円周角の定理と複素数平面での2直線のなす角を参照)

あるいは

円の中心が α + β 2 ,円の半径が | α β | 2 となるので

| z α + β 2 | = | α β | 2

と表すこともできる.

 

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最終更新日: 2025年4月25日

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