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応用分野: 円と直線の図形の特徴円と直線の関係方程式
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円の方程式

  1. 中心:原点,半径:r  の円の方程式
  2. 中心:C(a,b),半径:r  の円の方程式
  3. 原点Oと点Q(a,b)を結ぶ直線OPを直径とする円の方程式
  4. 複素数を用いた円の方程式

■中心:原点,半径:r  の円の方程式

x 2 + y 2 = r 2

r θ を使って円周上の点Pを表すと

{ x=rcosθ y=rsinθ

となる.

x 2 + y 2 = ( rcosθ ) 2 + ( rsinθ ) 2 = r 2 ( cos 2 θ+ sin 2 θ ) = r 2

■中心:C(a,b),半径:r  の円の方程式[topへ]

( xa ) 2 + ( yb ) 2 = r 2

r θ を使って円周上の点Pを表すと

{ x=a+rcosθ y=b+rsinθ

となる.

  • ( x a ) 2 + ( y b ) 2 = ( a + r cos θ a ) 2
  • + ( b + r sin θ b ) 2

 

■原点Oと点Q(a,b)を結ぶ直線OPを直径とする円の方程式[topへ]

( x a 2 ) 2 + ( y b 2 ) 2 = a 2 + b 2 4

●式の導出 その1

 円周角の定理より OPQ=90°
よって, OP , QP 内積は, OP · QP =0  となる.
この関係を,ベクトルの成分で表すと

OP =( x,y ), QP =( xa,yb )

より

x( xa )+y( yb )=0

となる.上記のような円の方程式の形に変形すると

( x a 2 ) 2 + ( y b 2 ) 2 = a 2 + b 2 4

となる.

 これが求める円の方程式である.

中心の座標は, ( a 2 , b 2 ) ,半径は, a 2 + b 2 2 となる.

 内積を用いて円の方程式を導く方法は重要である.

●式の導出 その2

 三平方の定理を用いて方程式を導くこともできます.

OQ 2 = OP 2 + QP 2 より

  • a 2 + b 2 = x 2 + y 2
  • + ( x a ) 2 + ( y b ) 2

  • a 2 + b 2 = x 2 + y 2 + x 2 2 a x
  • + a 2 + y 2 2 b y + b 2

0 = 2 ( x 2 a x + y 2 b y )

x 2 a x + y 2 b y = 0

( x a 2 ) 2 + ( y b 2 ) 2 = a 2 + b 2 4

■複素数を用いた円の方程式[topへ]

● 複素平面上において,原点Oを中心とする半径  r の 円の方程式

 複素数を z=x+yi   とすると

| z |=r   ( r= x 2 + y 2

極形式で表すと

z=r( cosθ+isinθ )

となる.

 

● 複素平面上において,点C( α=a+bi  )を中心とする半径  r  の 円の方程式

複素数を z=x+yi   とすると

| z α | = r

| ( x y i ) ( a + b i ) | = r

  • | ( x a ) + ( y b ) i | = r
  • ( r = ( x a ) 2 + ( y b ) 2 )

となる.

● 複素平面において,点A( α=a+bi )と点B( β=c+di )があり,線分ABを直径とする円の方程式

 複素数を z=x+yi   とすると

arg zα zβ =±90°

円周角の定理と複素数平面での2直線のなす角を参照)

あるいは

円の中心が α+β 2 ,円の半径が | αβ | 2 となるので

| z α+β 2 |= | αβ | 2

と表すこともできる.

 

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最終更新日: 2023年9月30日

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