円の方程式

1. 中心：原点，半径：r  の円の方程式
2. 中心：C(a,b)，半径：r  の円の方程式
3. 原点Oと点Q(a,b)を結ぶ直線OPを直径とする円の方程式
4. 複素数を用いた円の方程式

■中心：原点，半径：r  の円の方程式

$x^2+y^2=r^2$

r と${\displaystyle \theta }$ を使って円周上の点Pを表すと，　

${\displaystyle \{\begin{array}{l}x=rcos\theta \\ y=rsin\theta \end{array}}$

となる．

${\displaystyle \begin{array}{ll}{x}^2+y^2\hfill & ={\left(rcos\theta \right)}^2+{\left(rsin\theta \right)}^2\hfill \\ \hfill & =r^2\left({cos}^2\theta +{sin}^2\theta \right)\hfill \\ \hfill & =r^2\hfill \end{array}}$

■中心：C(a,b)，半径：r  の円の方程式[topへ]

${\left(x-a\right)}^2+{\left(y-b\right)}^2=r^2$

r と${\displaystyle \theta }$ を使って円周上の点Pを表すと，　

${\displaystyle \{\begin{array}{l}x=a+rcos\theta \\ y=b+rsin\theta \end{array}}$

となる．

${\displaystyle \begin{array}{ll}{\left(x-a\right)}^2+{\left(y-b\right)}^2\hfill & ={\left(a+rcos\theta -a\right)}^2+{\left(b+rsin\theta -b\right)}^2\hfill \\ \hfill & =r^2\left({cos}^2\theta +{sin}^2\theta \right)\hfill \\ \hfill & =r^2\hfill \end{array}}$

■原点Oと点Q(a,b)を結ぶ直線OPを直径とする円の方程式[topへ]

${\displaystyle {\left(x-\frac{a}{2}\right)}^2+{\left(y-\frac{b}{2}\right)}^2=\frac{a^2+b^2}{4}}$

●式の導出 その1

　円周角の定理より$\angle \text{OPQ}=90°$ ．
よって，${\displaystyle \stackrel{⟶}{\text{OP}}}$ , ${\displaystyle \stackrel{⟶}{\text{QP}}}$の内積は， $\stackrel{⟶}{\text{OP}}·\stackrel{⟶}{\text{QP}}=0$ となる．
この関係を，ベクトルの成分で表すと，

$\stackrel{⟶}{\text{OP}}=\left(x,y\right),\stackrel{⟶}{\text{QP}}=\left(x-a,y-b\right)$

より

$x\left(x-a\right)+y\left(y-b\right)=0$

となる．上記のような円の方程式の形に変形すると，

${\displaystyle {\left(x-\frac{a}{2}\right)}^2+{\left(y-\frac{b}{2}\right)}^2=\frac{a^2+b^2}{4}}$

となる．

　これが求める円の方程式である．

中心の座標は，${\displaystyle \left(\frac{a}{2},\frac{b}{2}\right)}$ ，半径は，${\displaystyle \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}}$ となる．

　内積を用いて円の方程式を導く方法は重要である．

●式の導出 その2

　三平方の定理を用いて方程式を導くこともできます．

${\displaystyle {\text{OQ}}^2={\text{OP}}^2+{\text{QP}}^2}$ より

${\displaystyle \begin{array}{l}{a}^2+b^2=x^2+y^2+{(x-a)}^2+{\left(y-b\right)}^2\\ a^2+b^2=x^2+y^2+x^2-2ax+a^2+y^2-2by+b^2\\ 0=2\left(x^2-ax+y^2-by\right)\\ x^2-ax+y^2-by=0\\ {\left(x-\frac{a}{2}\right)}^2+{\left(y-\frac{b}{2}\right)}^2=\frac{a^2+b^2}{4}\end{array}}$

■複素数を用いた円の方程式[topへ]

● 複素平面上において，原点Oを中心とする半径 r の 円の方程式

　複素数を${\displaystyle z=x+y\mathit{i}}$  とすると，

${\displaystyle \left|z\right|=r}$  （${\displaystyle r=\sqrt{x^2+y^2}}$ ）

極形式で表すと，

${\displaystyle z=r\left(cos\theta +\mathit{i}sin\theta \right)}$

となる．

● 複素平面上において，点C（${\displaystyle \alpha =a+b\mathit{i}}$  ）を中心とする半径 r  の 円の方程式

複素数を${\displaystyle z=x+y\mathit{i}}$  とすると，

${\displaystyle \begin{array}{l}\left|z-\alpha \right|=r\\ \left|\left(x-y\mathit{i}\right)-\left(a+b\mathit{i}\right)\right|=r\\ \left|\left(x-a\right)+\left(y-b\right)\mathit{i}\right|=r\left(r=\sqrt{{\left(x-a\right)}^2+{\left(y-b\right)}^2}\right)\end{array}}$

となる．

● 複素平面において，点A（${\displaystyle \alpha =a+b\mathit{i}}$ ）と点B（${\displaystyle \beta =c+d\mathit{i}}$ ）があり，線分ABを直径とする円の方程式

　複素数を${\displaystyle z=x+y\mathit{i}}$  とすると，

${\displaystyle arg\frac{z-\alpha }{z-\beta }=\pm 90°}$

（円周角の定理と複素数平面での2直線のなす角を参照）

あるいは，

円の中心が${\displaystyle \frac{\alpha +\beta }{2}}$ ，円の半径が${\displaystyle \frac{\left|\alpha -\beta \right|}{2}}$ となるので，

${\displaystyle \left|z-\frac{\alpha +\beta }{2}\right|=\frac{\left|\alpha -\beta \right|}{2}}$

と表すこともできる．

【問題演習】
    金沢工業大学　2002年度　数学（A-2)　III