双曲線の問題

■問題

双曲線 $\frac{{(x - 1)}^{2}}{4} - \frac{{(y + 2)}^{2}}{4} = 1$ $\frac{{(x - 1)}^{2}}{4} - \frac{{(y + 2)}^{2}}{4} = 1$ のグラフを描け（漸近線も入れよ）．さらに，頂点座標を求めよ．

■答

漸近線： ${\begin{cases} y = x - 3 \\ y = - x - 1 \end{cases}$ ${\begin{cases} y = x - 3 \\ y = - x - 1 \end{cases}$

頂点座標： $(- 1, - 2)$ $(- 1, - 2)$ ， $(3, - 2)$ $(3, - 2)$

■解き方

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{2^{2}} - \frac{{(y + 2)}^{2}}{2^{2}} = 1$ $\frac{{(x - 1)}^{2}}{2^{2}} - \frac{{(y + 2)}^{2}}{2^{2}} = 1$ ･･････(1)

このグラフは

$\frac{x^{2}}{2^{2}} - \frac{y^{2}}{2^{2}} = 1$ $\frac{x^{2}}{2^{2}} - \frac{y^{2}}{2^{2}} = 1$ ･･････(2)

のグラフを

$x$ $x$ 軸方向に $1$ $1$ ， $y$ $y$ 軸方向に $- 2$ $- 2$ 平行移動したもの

である．

(2)のグラフの漸近線を $y = a x + b$ $y = a x + b$ とすると

$\frac{x^{2}}{2^{2}} - \frac{y^{2}}{2^{2}} = 1$ $\frac{x^{2}}{2^{2}} - \frac{y^{2}}{2^{2}} = 1$ ， $\frac{y^{2}}{2^{2}} = \frac{x^{2}}{2^{2}} - 1$ $\frac{y^{2}}{2^{2}} = \frac{x^{2}}{2^{2}} - 1$ ， $y^{2} = x^{2} - 4$ $y^{2} = x^{2} - 4$ ， $y = \pm \sqrt{x^{2} - 4}$ $y = \pm \sqrt{x^{2} - 4}$ ， $f (x) = \pm \sqrt{x^{2} - 4}$ $f (x) = \pm \sqrt{x^{2} - 4}$

$a = \lim_{x \to \infty} \frac{f (x)}{x}$ $a = \lim_{x \to \infty} \frac{f (x)}{x}$ $= \lim_{x \to \infty} \frac{\pm \sqrt{x^{2} - 4}}{\sqrt{x^{2}}}$ $= \lim_{x \to \infty} \frac{\pm \sqrt{x^{2} - 4}}{\sqrt{x^{2}}}$ $= \lim_{x \to \infty} \pm \sqrt{1 + \frac{4}{x^{2}}}$ $= \lim_{x \to \infty} \pm \sqrt{1 + \frac{4}{x^{2}}}$ $= \pm 1$ $= \pm 1$

$b = \lim_{x \to \pm \infty} \{f (x) - a x\}$ $b = \lim_{x \to \pm \infty} \{f (x) - a x\}$ $= \lim_{x \to \pm \infty} \{\pm \sqrt{x^{2} - 4} - (\pm 1) x\}$ $= \lim_{x \to \pm \infty} \{\pm \sqrt{x^{2} - 4} - (\pm 1) x\}$ $= \lim_{x \to \pm \infty} \pm (\sqrt{x^{2} - 4} - x)$ $= \lim_{x \to \pm \infty} \pm (\sqrt{x^{2} - 4} - x)$ $= \lim_{x \to \pm \infty} \pm \frac{(\sqrt{x^{2} - 4} - x) (\sqrt{x^{2} - 4} + x)}{(\sqrt{x^{2} - 4} + x)}$ $= \lim_{x \to \pm \infty} \pm \frac{(\sqrt{x^{2} - 4} - x) (\sqrt{x^{2} - 4} + x)}{(\sqrt{x^{2} - 4} + x)}$ $\lim_{x \to \pm \infty} \pm \frac{(x^{2} - 4) - x^{2}}{(\sqrt{x^{2} - 4} + x)}$ $\lim_{x \to \pm \infty} \pm \frac{(x^{2} - 4) - x^{2}}{(\sqrt{x^{2} - 4} + x)}$ $= \lim_{x \to \pm \infty} \pm \frac{- 4}{(\sqrt{x^{2} - 4} + x)}$ $= \lim_{x \to \pm \infty} \pm \frac{- 4}{(\sqrt{x^{2} - 4} + x)}$ $= 0$ $= 0$

よって，漸近線は

$y = \pm x$ $y = \pm x$

$y = x$ $y = x$ ， $y = - x$ $y = - x$

で，頂点座標は

$\frac{0^{2}}{2^{2}} - \frac{y^{2}}{2^{2}} = 1$ $\frac{0^{2}}{2^{2}} - \frac{y^{2}}{2^{2}} = 1$ ， $\frac{y^{2}}{2^{2}} = 1$ $\frac{y^{2}}{2^{2}} = 1$ ， $y^{2} = 2^{2}$ $y^{2} = 2^{2}$ ， $y = \pm 2$ $y = \pm 2$

より

$(- 2, 0)$ $(- 2, 0)$ ， $(2, 0)$ $(2, 0)$

である．

よって，(1)のグラフの頂点座標は

$(- 1, - 2)$ $(- 1, - 2)$ ， $(3, - 2)$ $(3, - 2)$

漸近線は

$y + 2 = x - 1 \to y = x - 3$ $y + 2 = x - 1 \to y = x - 3$

$y + 2 = - (x - 1) \to y = - x - 1$ $y + 2 = - (x - 1) \to y = - x - 1$

よってグラフは下図のようになる．

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最終更新日： 2023年7月18日

双曲線の問題

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