2次関数のグラフのy軸に関して対称に関する問題

■問題

2次関数 $y = {(x - 2)}^{2} + 1$ のグラフを $y$ 軸に関して対称移動したグラフを表す関数を求めよ．

■答

$y = {(x + 2)}^{2} + 1$

■ヒント

関数 $y = f (x)$ のグラフを $y$ 軸に関して対称移動したグラフを表す関数は

$y = f (- x)$

である．(グラフを $y$ 軸に関して対称移動した関数を参照のこと)

■解説

関数 $y = f (x)$ のグラフを $y$ 軸に関して対称移動したグラフを表す関数は

$y = f (- x)$ 　･･････(1)

となる．よって， $y = {(x - 2)}^{2} + 1$ を

$x \to - x$ 　･･････(2)

に書き換えて

$y = {(- x - 2)}^{2} + 1$

$y = {\{- (x + 2)\}}^{2} + 1$

$y = {(x + 2)}^{2} + 1$ 　･･････(3)

となる．これが求める関数である．

●基本に立ち返って解く方法

$y = {(x - 2)}^{2} + 1$ 上の点 $P$ を $y$ 軸に関して対称移動したものを点 $Q$ とし，点 $P$ ， $Q$ の座標をそれぞれ $(r, s)$ ， $(x, y)$ とする．点 $Q$ の $x$ 座標の値は点 $P$ の $x$ 座標の値 $r$ に $- 1$ を掛けたもので，点 $Q$ の $y$ 座標の値は点 $P$ の $y$ 座標の値 $s$ と変わらない．すなわち

$\{\begin{cases} x = - r \\ y = s \end{cases} \to (x, y) = (- r, s)$ 　　･･････(4)

の関係がある．これは点 $Q$ を点 $P$ の座標の値を用いて表しているが，逆に点 $P$ の座標を，点 $Q$ の座標の値 $x$ ， $y$ を使って表すと

$\{\begin{cases} r = - x \\ s = y \end{cases} \to (r, s) = (- x, y)$ 　･･････(5)

となる．(5)は上記の(2)に対応する．

点 $P$ は $y = {(x - 2)}^{2} + 1$ 上の点であるので

$s = {(r - 2)}^{2} + 1$ 　　･･････(6)

の関係がある．この(6)の $r$ と $s$ に(5)の関係を代入すると

$y = {(- x - 2)}^{2} + 1$

$y = {(x + 2)}^{2} + 1$ 　･･････(7)

が得られる.(7)は $x$ と $y$ の関係を表している．すなわち，この(7)が $y = {(x - 2)}^{2} + 1$ のグラフを $x$ 軸に関して対称移動したグラフを表す関数である．

■別解

２次関数の頂点 $(2, 1)$ を $y$ 軸に関して対称移動すると， $(- 2, 1)$ に移動する．よって，求める関数は

$y = {(x + 2)}^{2} + 1$

となる（ここを参照）．

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最終更新日： 2024年9月13日