2次関数のグラフの原点対称に関する問題

■問題

2次関数 $y = {(x - 2)}^{2} + 1$ のグラフを原点に関して対称移動したグラフを表す関数を求めよ．

■動画解説

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■答

$y = - {(x + 2)}^{2} - 1$

■ヒント

関数 $y = f (x)$ のグラフを原点に関して対称移動したグラフを表す関数は

$- y = f (- x)$

である．(グラフを原点に関して対称移動した関数を参照のこと)

■解説

関数 $y = f (x)$ のグラフを原点に関して対称移動したグラフを表す関数は

$- y = - f (x)$ ･･････(1)

となる．よって， $y = {(x - 2)}^{2} + 1$ を

$x \to - x$ ， $y \to - y$ ･･････(2)

に書き換えて

$- y = {(- x - 2)}^{2} + 1$

$- y = {\{- (x + 2)\}}^{2} + 1$

$y = - {(x + 2)}^{2} - 1$ ･･････(3)

となる．これが求める関数である．

●基本に立ち返って解く方法

$y = {(x - 2)}^{2} + 1$ 上の点 $P$ を原点に関して対称移動したものを点 $Q$ とし，点 $P$ ， $Q$ の座標をそれぞれ $(r, s)$ ， $(x, y)$ とする．点 $Q$ の $x$ 座標の値と $y$ 座標の値は点 $P$ の $x$ 座標の値 $r$ と $y$ 座標の値 $s$ にそれぞれ $- 1$ を掛けたものとなる．すなわち

$\{\begin{cases} x = - r \\ y = - s \end{cases} \to (x, y) = (- r, - s)$ ･･････(4)

の関係がある．これは点 $Q$ を点 $P$ の座標の値を用いて表しているが，逆に点 $P$ の座標を，点 $Q$ の座標の値 $x$ ， $y$ を使って表すと

$\{\begin{cases} r = - x \\ s = - y \end{cases} \to (r, s) = (- x, - y)$ ･･････(5)

となる．(5)は上記の(2)に対応する．

点 $P$ は $y = {(x - 2)}^{2} + 1$ 上の点であるので

$s = {(r - 2)}^{2} + 1$ ･･････(6)

の関係がある．この(6)の $r$ と $s$ に(5)の関係を代入すると

$- y = {(- x - 2)}^{2} + 1$ ･･････(7)

となる． $y =$ の形に式を変形して

$y = - {(x + 2)}^{2} - 1$ ･･････(8)

が得られる.(8)は $x$ と $y$ の関係を表している．すなわち，この(8)が $y = {(x - 2)}^{2} + 1$ のグラフを $x$ 軸に関して対称移動したグラフを表す関数である．

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最終更新日： 2025年2月9日