問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

2次関数のグラフの原点対称に関する問題

■問題

2次関数 ${\displaystyle y={\left(x-2\right)}^2+1}$  のグラフを原点に関して対称移動したグラフを表す関数を求めよ．

■解説動画

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■答

${\displaystyle y=-{\left(x+2\right)}^2-1}$

■ヒント

関数 ${\displaystyle y=f\left(x\right)}$ のグラフを 原点に関して対称移動したグラフを表す関数は

${\displaystyle -y=f\left(-x\right)}$

である．(グラフを 原点に関して対称移動した関数を参照のこと)

■解説

関数 ${\displaystyle y=f\left(x\right)}$ のグラフを 原点に関して対称移動したグラフを表す関数は

${\displaystyle -y=-f\left(x\right)}$ ･･････(1)

となる．よって， ${\displaystyle y={\left(x-2\right)}^2+1}$  を

${\displaystyle x\to -x}$ ， ${\displaystyle y\to -y}$ ･･････(2)

に書き換えて

${\displaystyle -y={\left(-x-2\right)}^2+1}$

${\displaystyle -y={\left\{-\left(x+2\right)\right\}}^2+1}$

${\displaystyle y=-{\left(x+2\right)}^2-1}$ ･･････(3)

となる．これが求める関数である．

●基本に立ち返って解く方法

${\displaystyle y={\left(x-2\right)}^2+1}$ 上の点 $\text{P}$ を原点に関して対称移動したものを点 $\text{Q}$ とし，点 $\text{P}$ ， $\text{Q}$ の座標をそれぞれ ${\displaystyle \left(r,s\right)}$ ， $\left(x,y\right)$ とする．点 $\text{Q}$ の $x$ 座標の値と $y$ 座標の値は点 $\text{P}$ の $x$ 座標の値 $r$ と $y$ 座標の値 $s$ にそれぞれ ${\displaystyle {\displaystyle -1}}$ を掛けたものとなる．すなわち

${\displaystyle {\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=-r\\ y=-s\end{array}\right.\to \left(x,y\right)=\left(-r,-s\right)}}$ ･･････(4)

の関係がある．これは点 $\text{Q}$ を点 $\text{P}$ の座標の値を用いて表しているが，逆に点 $\text{P}$ の座標を，点 $\text{Q}$ の座標の値 $x$ ， $y$ を使って表すと

${\displaystyle \left\{\begin{array}{l}r=-x\\ s=-y\end{array}\right.\to \left(r,s\right)=\left(-x,-y\right)}$ ･･････(5)

となる．(5)は上記の(2)に対応する．

点 $\text{P}$ は ${\displaystyle y={\left(x-2\right)}^2+1}$ 上の点であるので

${\displaystyle s={\left(r-2\right)}^2+1}$ ･･････(6)

の関係がある．この(6)の $r$ と $s$ に(5)の関係を代入すると

${\displaystyle -y={\left(-x-2\right)}^2+1}$ ･･････(7)

となる． ${\displaystyle y=}$ の形に式を変形して

${\displaystyle y=-{\left(x+2\right)}^2-1}$ ･･････(8)

が得られる.(8)は $x$ と $y$ の関係を表している．すなわち，この(8)が ${\displaystyle y={\left(x-2\right)}^2+1}$ のグラフを $x$ 軸に関して対称移動したグラフを表す関数である．

 

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最終更新日： 2025年4月18日

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