問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

3次関数のグラフの式を求める問題

■問題

図は $x$ 切片が $-3$ ， $-1$ , $2$ , $y$ 切片が $-3$ の3次関数のグラフである．グラフを表す3次関数の式を求めよ．

■答

${\displaystyle y=\frac{1}{3}\left(x+3\right)\left(x+1\right)\left(x-2\right)}$

■ヒント

3次関数のグラフのページを参照

■解説

$x$ 切片が $-3$ ， $-1$ , $2$ より，3次関数は一般的に

${\displaystyle y=a\left(x+3\right)\left(x+1\right)\left(x-2\right)}$ 　･･････(1)

ただし， $a$ は定数

と表される．

$y$ 切片が $-2$ より，(1)に $x=0$ ， $y=-2$ を代入する．

${\displaystyle -2=a\left(0+3\right)\left(0+1\right)\left(0-2\right)}$

${\displaystyle -2=-6a}$

${\displaystyle a=\frac{1}{3}}$ 　･･････(2)

(1)に(2)を代入する．

${\displaystyle y=\frac{1}{3}\left(x+3\right)\left(x+1\right)\left(x-2\right)}$ 　･･････(3)

(3)が求める2次関数の式になる．

■別解

3次関数は一般的に

${\displaystyle y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d}$ 　･･････(4)

と表される．

$x$ 切片が $-3$ ， $-1$ , $2$ , $y$ 切片が $-2$ より，以下の連立方程式が成り立つ．

この連立方程式を解く

（5)，(6)，(7)に(8)を代入する．

${\displaystyle -27a+9b-3c-2=0}$ 　･･････(10)

${\displaystyle -a+b-c-2=0}$ 　･･････(11)

${\displaystyle 8a+4b+2c-2=0}$ 　･･････(12)

(10)-(11)×2より

${\displaystyle -24a+6b+4=0}$ 　･･････(13)

(12)+(11)×2より

${\displaystyle 6a+6b-6=0}$ 　･･････(14)

(14)-(13)より

${\displaystyle 30a-10=0}$

${\displaystyle a=\frac{1}{3}}$ 　･･････(15)

(15)を(14)に代入する．

${\displaystyle 6\cdot \frac{1}{3}+6b-6=0}$

${\displaystyle b=\frac{2}{3}}$ 　･･････(16)

(15)，(16)を(11)に代入する．

${\displaystyle -\frac{1}{3}+\frac{2}{3}-c-2=0}$

${\displaystyle c=-\frac{5}{3}}$ 　･･････(17)

(15)，(16)，(17)，(8)を(4)に代入する．

${\displaystyle y=\frac{1}{3}{x}^3+\frac{2}{3}{x}^2-\frac{5}{3}x-2}$ 　･･････(18)

(18)が求める3次関数である．(18)を因数分解すると(3)になる．

 

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最終更新日： 2024年9月13日

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