3次関数のグラフの式を求める問題

■問題

図は $x$ $x$ 軸と点 $(- 2, 0)$ $(- 2, 0)$ で交わり，点 $(3, 0)$ $(3, 0)$ で接し， $y$ $y$ 切片が $3$ $3$ の3次関数のグラフである．グラフを表す3次関数の式を求めよ．

■答

$y = \frac{1}{6} (x + 2) {(x - 3)}^{2}$ $y = \frac{1}{6} (x + 2) {(x - 3)}^{2}$

■ヒント

3次関数のグラフのページを参照

■解説

3次関数のフラフが $x$ $x$ 軸と点 $(- 2, 0)$ $(- 2, 0)$ で交わり，点 $(3, 0)$ $(3, 0)$ で接することより，3次関数は一般的に

$y = a (x + 2) {(x - 3)}^{2}$ $y = a (x + 2) {(x - 3)}^{2}$

ただし， $a$ $a$ は定数

と表される．

$y$ $y$ 切片が $3$ $3$ より，(1)に $x = 0$ $x = 0$ ， $y = 3$ $y = 3$ を代入する．

$3 = a (0 + 2) {(0 - 3)}^{2}$ $3 = a (0 + 2) {(0 - 3)}^{2}$

$3 = 18 a$ $3 = 18 a$

$a = \frac{1}{6}$ $a = \frac{1}{6}$ 　･･････(2)

(1)に(2)を代入する．

$y = \frac{1}{6} (x + 2) {(x - 3)}^{2}$ $y = \frac{1}{6} (x + 2) {(x - 3)}^{2}$ 　･･････(3)

(3)が求める2次関数の式になる．

■別解

3次関数は一般的に

$y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ $y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ 　･･････(4)

と表される．

$x$ $x$ 軸と点 $(- 2, 0)$ $(- 2, 0)$ で交わり，点 $(3, 0)$ $(3, 0)$ で接し， $y$ $y$ 切片が $3$ $3$ であることより，以下の連立方程式が成り立つ．

$\{\begin{cases} - 8 a + 4 b - 2 c + d = 0 \\ 27 a + 9 b + 3 c + d = 0 \\ d = 3 \end{cases}$	･･････(5)
	･･････(6)
	･･････(7)

また，点 $(3, 0)$ で接することより，点 $(3, 0)$ での接線の傾きがゼロである．

$y^{'} = 3 a x^{2} + 2 b x + c$ 　　･･････(8)

より，以下の方程式が成り立つ．

$27 a + 6 b + c = 0$ 　　･･････(9)

（5)，(6)，(7)，(9)からなる連立方程式を解く．

（5)，(6)に(7)を代入する．

$- 8 a + 4 b - 2 c + 3 = 0$ 　･･････(10)

$27 a + 9 b + 3 c + 3 = 0$ 　･･････(11)

(10)×3＋(11)×2より

$30 a + 30 b + 15 = 0$

$2 a + 2 b + 1 = 0$ 　･･････(12)

(9)×2+(10)より

$46 a + 16 b + 3 = 0$ 　･･････(13)

(14)-(12)×8より

$30 a - 5 = 0$

$a = \frac{1}{6}$ 　･･････(14)

(14)を(12)に代入する．

$6 \cdot \frac{1}{3} + 6 b - 6 = 0$

$b = - \frac{2}{3}$ 　･･････(15)

(14)，(15)を(9)に代入する．

$27 \cdot \frac{1}{6} + 6 \cdot (- \frac{2}{3}) + c = 0$

$c = - \frac{1}{2}$ 　･･････(16)

(14)，(15)，(16)，(7)を(4)に代入する．

$\frac{1}{6} x^{3} - \frac{2}{3} x^{2} - \frac{1}{2} x + 3 = 0$ 　･･････(17)

(18)が求める3次関数である．(17)を因数分解すると(3)になる．

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最終更新日： 2024年9月13日