問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

3次関数のグラフの式を求める問題

■問題

図は $x$ 軸と点 ${\displaystyle \left(-2,0\right)}$ で交わり，点 ${\displaystyle \left(3,0\right)}$ で接し，$y$ 切片が $3$ の3次関数のグラフである．グラフを表す3次関数の式を求めよ．

■答

${\displaystyle y=\frac{1}{6}\left(x+2\right){\left(x-3\right)}^2}$

■ヒント

3次関数のグラフのページを参照

■解説

3次関数のフラフが $x$ 軸と点 ${\displaystyle \left(-2,0\right)}$ で交わり，点 ${\displaystyle \left(3,0\right)}$ で接することより，3次関数は一般的に

${\displaystyle y=a\left(x+2\right){\left(x-3\right)}^2}$

ただし， $a$ は定数

と表される．

$y$ 切片が $3$ より，(1)に $x=0$ ， $y=3$ を代入する．

${\displaystyle 3=a\left(0+2\right){\left(0-3\right)}^2}$

${\displaystyle 3=18a}$

${\displaystyle a=\frac{1}{6}}$ 　･･････(2)

(1)に(2)を代入する．

${\displaystyle y=\frac{1}{6}\left(x+2\right){\left(x-3\right)}^2}$ 　･･････(3)

(3)が求める2次関数の式になる．

■別解

3次関数は一般的に

${\displaystyle y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d}$ 　･･････(4)

と表される．

$x$ 軸と点 ${\displaystyle \left(-2,0\right)}$ で交わり，点 ${\displaystyle \left(3,0\right)}$ で接し，$y$ 切片が $3$であることより，以下の連立方程式が成り立つ．

また，点 ${\displaystyle \left(3,0\right)}$ で接することより，点 ${\displaystyle \left(3,0\right)}$での接線の傾きがゼロである．

${\displaystyle y^{\prime }=3a{x}^2+2bx+c}$　　･･････(8)

より，以下の方程式が成り立つ．

${\displaystyle 27a+6b+c=0}$　　･･････(9)

（5)，(6)，(7)，(9)からなる連立方程式を解く．

（5)，(6)に(7)を代入する．

${\displaystyle -8a+4b-2c+3=0}$ 　･･････(10)

${\displaystyle 27a+9b+3c+3=0}$ 　･･････(11)

(10)×3＋(11)×2より

${\displaystyle 30a+30b+15=0}$

${\displaystyle 2a+2b+1=0}$ 　･･････(12)

(9)×2+(10)より

${\displaystyle 46a+16b+3=0}$ 　･･････(13)

(14)-(12)×8より

${\displaystyle 30a-5=0}$

${\displaystyle a=\frac{1}{6}}$ 　･･････(14)

(14)を(12)に代入する．

${\displaystyle 6\cdot \frac{1}{3}+6b-6=0}$

${\displaystyle b=-\frac{2}{3}}$ 　･･････(15)

(14)，(15)を(9)に代入する．

${\displaystyle 27\cdot \frac{1}{6}+6\cdot \left(-\frac{2}{3}\right)+c=0}$

${\displaystyle c=-\frac{1}{2}}$ 　･･････(16)

(14)，(15)，(16)，(7)を(4)に代入する．

${\displaystyle \frac{1}{6}{x}^3-\frac{2}{3}{x}^2-\frac{1}{2}x+3=0}$ 　･･････(17)

(18)が求める3次関数である．(17)を因数分解すると(3)になる．

 

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最終更新日： 2024年9月13日

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