問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

2次関数のグラフの式を求める問題

■問題

グラフが3点 $\left(5,2\right)$ ， $\left(2,-1\right)$ ， $\left(-1,14\right)$ を通る2次関数の式を求め，グラフをかけ．

■答

$y=x^2-6x+7$

平方完成した形では以下のようになる．

${\displaystyle y={\left(x-3\right)}^2-2}$

■ヒント

2次関数の定義，2次関数のグラフ $y=x^2$ ， 2次関数のグラフ ${\displaystyle y=a{\left(x-p\right)}^2+q}$ のページを参考にする．

■解説

2次関数の式の一般系は

${\displaystyle y=a{x}^2+bx+c}$　･･････(1)

ただし， $a$，$b$，$c$ は定数

である．

(1)の2次関数のグラフが3点 $\left(5,2\right)$ ， $\left(2,-1\right)$ ， $\left(-1,14\right)$ を通ることより

${\displaystyle \left\{\begin{array}{l}2=25a+5b+c\cdots \cdots (2)\\ -1=4a+2b+c\cdots \cdots (3)\\ 14=a-b+c\cdots \cdots (4)\end{array}\right.}$

の連立方程式が成り立つ．この連立方程式から $a$，$b$，$c$ を求める．

(3)-(2)より

${\displaystyle 3=21a+3b}$　･･････(5)

(3)-(4)より

$-15=3a+3b$ 　･･････(6)

が得られる．さらに，(5)-(6)より

${\displaystyle 18=18a}$

$a=1$　･･････(7)

が得られる．

(7)を(6)に代入する．

${\displaystyle -15=3\cdot 1+3b}$

$b=-6$ 　･･････(8)

(7)，8)を(4)に代入する．

$14=1-\left(-6\right)+c$

$c=7$ 　･･････(9)

となる．

(7)、(8)，(9)を(1)に代入すると求める2次関数の式

$y=x^2-6x+7$　･･････(10)

が得られる．

●グラフ

(2)の2次関数のグラフをかくには(10)を平方完成をし，グラフの頂点を求める．

${\displaystyle y=x^2-6x+7}$

${\displaystyle =x^2-2\cdot 3x+3^2-3^2+7}$

${\displaystyle ={\left(x-3\right)}^2-2}$　･･････(10)

よって，頂点は

$\left(3,-2\right)$

となる．

$y$ 切片を求める．(10)の $x$ に $0$ を代入する．

${\displaystyle y=0^2-6\cdot 0+7=7}$

より， $y$ 切片は $7$ である．

 

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最終更新日： 2024年9月27日

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