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グラフが3点 (5,2)(5,2) , (2,−1)(2,−1) , (−1,14)(−1,14) を通る2次関数の式を求め,グラフをかけ.
y=x2−6x+7y=x2−6x+7
平方完成した形では以下のようになる.
y=(x−3)2−2y=(x−3)2−2
2次関数の定義,2次関数のグラフ y=x2y=x2 , 2次関数のグラフ y=a(x−p)2+qy=a(x−p)2+q のページを参考にする.
2次関数の式の一般系は
y=ax2+bx+cy=ax2+bx+c ・・・・・・(1)
ただし, aa , bb , cc は定数
である.
(1)の2次関数のグラフが3点 (5,2)(5,2) , (2,−1)(2,−1) , (−1,14)(−1,14) を通ることより
{2=25a+5b+c ⋯⋯(2)−1=4a+2b+c ⋯⋯(3)14=a−b+c ⋯⋯(4)
の連立方程式が成り立つ.この連立方程式から a , b , c を求める.
(3)-(2)より
3=21a+3b ・・・・・・(5)
(3)-(4)より
−15=3a+3b ・・・・・・(6)
が得られる.さらに,(5)-(6)より
18=18a
a=1 ・・・・・・(7)
が得られる.
(7)を(6)に代入する.
−15=3⋅1+3b
b=−6 ・・・・・・(8)
(7),8)を(4)に代入する.
14=1−(−6)+c
c=7 ・・・・・・(9)
となる.
(7)、(8),(9)を(1)に代入すると求める2次関数の式
y=x2−6x+7 ・・・・・・(10)
が得られる.
(2)の2次関数のグラフをかくには(10)を平方完成をし,グラフの頂点を求める.
y=x2−6x+7
=x2−2⋅3x+32−32+7
=(x−3)2−2 ・・・・・・(10)
よって,頂点は
(3,−2)
となる.
y 切片を求める.(10)の x に 0 を代入する.
y=02−6⋅0+7=7
より, y 切片は 7 である.
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最終更新日: 2025年2月9日