2次関数のグラフの式を求める問題

■問題

グラフが3点 $(5, 2)$ $(5, 2)$ ， $(2, - 1)$ $(2, - 1)$ ， $(- 1, 14)$ $(- 1, 14)$ を通る2次関数の式を求め，グラフをかけ．

■動画解説

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■答

$y = x^{2} - 6 x + 7$ $y = x^{2} - 6 x + 7$

平方完成した形では以下のようになる．

$y = {(x - 3)}^{2} - 2$ $y = {(x - 3)}^{2} - 2$

■ヒント

2次関数の定義，2次関数のグラフ $y = x^{2}$ $y = x^{2}$ ， 2次関数のグラフ $y = a {(x - p)}^{2} + q$ $y = a {(x - p)}^{2} + q$ のページを参考にする．

■解説

2次関数の式の一般系は

$y = a x^{2} + b x + c$ $y = a x^{2} + b x + c$ ･･････(1)

ただし， $a$ $a$ ， $b$ $b$ ， $c$ $c$ は定数

である．

(1)の2次関数のグラフが3点 $(5, 2)$ $(5, 2)$ ， $(2, - 1)$ $(2, - 1)$ ， $(- 1, 14)$ $(- 1, 14)$ を通ることより

$\{\begin{cases} 2 = 25 a + 5 b + c \dots \dots (2) \\ - 1 = 4 a + 2 b + c \dots \dots (3) \\ 14 = a - b + c \dots \dots (4) \end{cases}$ $\{\begin{cases} 2 = 25 a + 5 b + c \dots \dots (2) \\ - 1 = 4 a + 2 b + c \dots \dots (3) \\ 14 = a - b + c \dots \dots (4) \end{cases}$

の連立方程式が成り立つ．この連立方程式から $a$ $a$ ， $b$ $b$ ， $c$ $c$ を求める．

(3)-(2)より

$3 = 21 a + 3 b$ $3 = 21 a + 3 b$ ･･････(5)

(3)-(4)より

$- 15 = 3 a + 3 b$ $- 15 = 3 a + 3 b$ ･･････(6)

が得られる．さらに，(5)-(6)より

$18 = 18 a$ $18 = 18 a$

$a = 1$ $a = 1$ ･･････(7)

が得られる．

(7)を(6)に代入する．

$- 15 = 3 \cdot 1 + 3 b$ $- 15 = 3 \cdot 1 + 3 b$

$b = - 6$ $b = - 6$ ･･････(8)

(7)，8)を(4)に代入する．

$14 = 1 - (- 6) + c$ $14 = 1 - (- 6) + c$

$c = 7$ $c = 7$ ･･････(9)

となる．

(7)、(8)，(9)を(1)に代入すると求める2次関数の式

$y = x^{2} - 6 x + 7$ $y = x^{2} - 6 x + 7$ ･･････(10)

が得られる．

●グラフ

(2)の2次関数のグラフをかくには(10)を平方完成をし，グラフの頂点を求める．

$y = x^{2} - 6 x + 7$ $y = x^{2} - 6 x + 7$

$= x^{2} - 2 \cdot 3 x + 3^{2} - 3^{2} + 7$ $= x^{2} - 2 \cdot 3 x + 3^{2} - 3^{2} + 7$

$= {(x - 3)}^{2} - 2$ $= {(x - 3)}^{2} - 2$ ･･････(10)

よって，頂点は

$(3, - 2)$ $(3, - 2)$

となる．

$y$ $y$ 切片を求める．(10)の $x$ $x$ に $0$ $0$ を代入する．

$y = 0^{2} - 6 \cdot 0 + 7 = 7$ $y = 0^{2} - 6 \cdot 0 + 7 = 7$

より， $y$ $y$ 切片は $7$ $7$ である．

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最終更新日： 2025年2月9日

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