問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

1次方程式に関する問題

■問題

1次方程式

${\displaystyle ax+2x+1=b}$　 （ $a$ ， $b$ は定数 ） 　･･････(1)

の解を求めよ．

■答

$a\ne -2$ の場合

${\displaystyle x=\frac{b-1}{a+2}}$

$a=-2$ かつ $b\ne 1$ の場合

解なし

$a=-2$ かつ $b=1$ の場合

解は実数全体

■解説

$x$ を含む項を左辺に， $x$ を含まない定数項を右辺になるように式を整理する．

まず，(1)の両辺から $1$ を減じる(等式の性質2)ことにより，(1)の左辺の $1$ を右辺に移項する．

${\displaystyle ax+2x+1-1=b-1}$

${\displaystyle ax+2x=b-1}$ 　･･････(2)

(1)の右辺の $1$ が右辺に移項できたので，(2)の左辺を整理する．

(2)の左辺の整式の共通因数である $x$ をくくりだし，残りを()の中に入れる，

${\displaystyle x\left(a+2\right)=b-1}$ 　･･････(3)

(I) $a+2\ne 0$ ，すなわち， $a\ne -2$ の場合

(3)の両辺を $a+2$ で割る(等式の性質4)．

${\displaystyle \frac{x\left(a+2\right)}{a+2}=\frac{b-1}{a+2}}$ 　･･････(4)

(4)の両辺を約分する．

${\displaystyle x=\frac{b-1}{a+2}}$

(II) $a+2=0$ ，すなわち， $a=-2$ の場合

(3)は

$x\cdot 0=b-1$　･･････(5)

となる．

(II-1) ${\displaystyle b-1\ne 0}$ ，すなわち，の場合$b\ne 1$

(5)の左辺は常に $0$ ，右辺は常に $0$ ではない．よって，(5)が成り立つ $x$ は存在しない．すなわち，解なしとなる．

(II-2) ${\displaystyle b-1=0}$ ，すなわち，の場合$b=1$

(5)の左辺は $x$ がどのような値であっても常に $0$ ，右辺も $0$ である．よって，(5)は $x$ が任意の実数で成り立つ．よって，解は実数全体となる．

以上をまとめると

$a\ne -2$ の場合

${\displaystyle x=\frac{b-1}{a+2}}$

$a=-2$ かつ $b\ne 1$ の場合

解なし

$a=-2$ かつ $b=1$ の場合

解は実数全体

となる．

 

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最終更新日： 2024年10月2日

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