問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

1次不等式に関する問題

■問題

1次不等式

${\displaystyle ax>2x+5}$ （ $a$ は定数 ） 　･･････(1)

の解を求めよ．

■解説動画

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■答

$a>2$ の場合

${\displaystyle x>\frac{5}{a-2}}$

$a<2$ の場合

${\displaystyle x<\frac{5}{a-2}}$

$a=2$ の場合

解なし

となる．

■解説

(1)の両辺から $2x$ を減じる(不等式の性質1)ことにより，(1)の右辺の $2x$ を左辺に移項する．

$ax-2x>2x+5-2x$

$ax-2x>5$ ･･････(2)

移項できたので，左辺を $x$ でくくり出し，残りを（）の中に入れる．

$x\left(a-2\right)>5$ ･･････(3)

I． $a-2>0$ ，すなわち， $a>2$ の場会

(3)の両辺を $a-2$ で割る． $a-2$ は正の値なので不等号の向きは変わらない．（不等式の性質4）.

${\displaystyle \frac{x\left(a-2\right)}{a-2}>\frac{5}{a-2}}$ ･･････(4)

(4)の左辺を約分する．

${\displaystyle x>\frac{5}{a-2}}$

II． $a-2<0$ ，すなわち， $a<2$ の場会

(3)の両辺を $a-2$ で割る． $a-2$ は負の値なので不等号の向きが変わる．（不等式の性質7）.

${\displaystyle \frac{x\left(a-2\right)}{a-2}<\frac{5}{a-2}}$ ･･････(5)

(4)の左辺を約分する．

${\displaystyle x<\frac{5}{a-2}}$

III． ${\displaystyle a-2=0}$ ，すなわち， $a=2$ の場会

この場合，(3)は

$x\cdot 0>5$ ･･････(6)

となる．

(6)の左辺の値は $0$ ， 右辺の値は $5$ となり，(6)を満たす $x$ は存在しない．よって，解なし．

以上をまとめると

$a>2$ の場合

${\displaystyle x>\frac{5}{a-2}}$

$a<2$ の場合

${\displaystyle x<\frac{5}{a-2}}$

$a=2$ の場合

解なし

となる．

 

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最終更新日： 2025年4月18日

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