2次不等式に関する問題

■問題

$2 x^{2} - 9 x + 4 > 0$ $2 x^{2} - 9 x + 4 > 0$ ･･････(1)

の解を求めよ．

$x > 4$ $x > 4$ ， $x < \frac{1}{2}$ $x < \frac{1}{2}$

(1)の左辺を因数分解すると

$(2 x - 1) (x - 4) > 0$ $(2 x - 1) (x - 4) > 0$ ･･････(2)

となる． $2 x^{2} - 9 x + 4$ $2 x^{2} - 9 x + 4$ の因数分解についてはこのページを参照する．詳しく解説をしている．

(2)の不等式が成り立つのは

$2 x - 1 > 0$ $2 x - 1 > 0$ ，かつ， $x - 4 > 0$ $x - 4 > 0$ の場合　･･････(I)

あるいは

$2 x - 1 < 0$ $2 x - 1 < 0$ ，かつ， $x - 4 < 0$ $x - 4 < 0$ の場合　･･････(II)

である．

（I)より

$x > \frac{1}{2}$ $x > \frac{1}{2}$ ，かつ， $x > 4$ $x > 4$

図で示すと

すなわち

$x > 4$ $x > 4$ ･･････(3)

となる．

（II)より

$x < \frac{1}{2}$ $x < \frac{1}{2}$ ，かつ， $x < 4$ $x < 4$

図で示すと

すなわち

$x < \frac{1}{2}$ $x < \frac{1}{2}$ ･･････(4)

となる．

以上，(3)と(4)より，(1)の不等式の解は

$x > 4$ $x > 4$ ， $x < \frac{1}{2}$ $x < \frac{1}{2}$

となる．

$y = 2 x^{2} - 9 x + 4$ $y = 2 x^{2} - 9 x + 4$ $= (2 x - 1) (x - 4)$ $= (2 x - 1) (x - 4)$ ･･････(5)

とおき，(1)の解と(5)のグラフの関係を確認すと，(1)を満たす部分は，グラフの $x$ $x$ 軸より上の部分になり，容易に解の範囲を理解することができる．

最終更新日： 2025年2月9日