問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

2次不等式に関する問題

■問題

2次不等式

${\displaystyle -x^2+x+72>0}$ 　･･････(1)

の解を求めよ．

■答

$-8<x<9$

■解説

(1)の2次不等式の $x^2$ の係数が負である． 2次不等式を解く場合， $x^2$ の係数が正になるように式を変形すると， $x^2$ の係数が正場合と同様に解くことができる．よって，(1)の不等式の両辺に $-1$ を掛ける．このとき不等号の向きが変わることに注意する（不等号の性質5）．

$x^2-x-72<0$　･･････(2)

(2)の左辺を因数分解すると

$\left(x+8\right)\left(x-9\right)<0$ 　･･････(3)

となる． $x^2-x-72$ の因数分解についてはこのページを参照する．詳しく解説をしている．

(3)の不等式が成り立つのは

$x+8>0$ ，かつ， $x-9<0$ の場合　･･････(I)

あるいは

$x+8<0$ ，かつ， $x-9>0$ の場合　･･････(II)

である．

（I)より

$x>-8$ ，かつ， $x<9$

図で示すと

すなわち

$-8<x<9$ 　･･････(3)

となる．

（II)より

$x<-8$ ，かつ， $x>9$

図で示すと

すなわち

解なし　･･････(4)

となる．

以上，(3)と(4)より，(1)の不等式の解は

$-8<x<9$

となる．

●グラフを用いた確認

$y=-x^2+x+72$ $=-\left(x+8\right)\left(x-9\right)$　･･････(5)

とおき，(1)の解と(5)グラフの関係を確認すと，(1)を満たす部分は，グラフの $x$ 軸より上の部分になり，容易に解の範囲を理解するができる．

 

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最終更新日： 2024年10月1日

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