2次関数のグラフの平行移動に関する問題

■問題

2次関数 $y = x^{2}$ $y = x^{2}$ のグラフを $x$ $x$ 軸方向に $- 3$ $- 3$ ， $y$ $y$ 軸方向に $- 2$ $- 2$ 平行移動したグラフを表す関数を求めよ．

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■答

$y = {(x + 3)}^{2} - 2$ $y = {(x + 3)}^{2} - 2$

■解説

関数 $y = f (x)$ $y = f (x)$ のグラフを $x$ $x$ 軸方向に $a$ $a$ ， $y$ $y$ 軸方向に $b$ $b$ 平行移動（移動距離は軸の正の方向を正とする）したグラフを表す関数は

$y - b = f (x - a)$ $y - b = f (x - a)$ ･･････(1)

となる．(グラフの平行移動を参照)．
今回は $a = - 3$ $a = - 3$ ， $b = - 2$ $b = - 2$ に対応する．
よって $y = x^{2}$ $y = x^{2}$ を

$x \to x - (- 3)$ $x \to x - (- 3)$ ， $y \to y - (- 2)$ $y \to y - (- 2)$ ･･････(2)

に書き換えて

$y - (- 2) = {\{x - (- 3)\}}^{2}$ $y - (- 2) = {\{x - (- 3)\}}^{2}$

$y = {(x + 3)}^{2} - 2$ $y = {(x + 3)}^{2} - 2$ ･･････(3)

となる．これが求める関数である．

●基本に立ち返って解く方法

$y = x^{2}$ $y = x^{2}$ 上の点 $P$ $P$ を $x$ $x$ 軸方向に $- 3$ $- 3$ ， $y$ $y$ 軸方向に $- 2$ $- 2$ 平行移動したものを点 $Q$ $Q$ とし，点 $P$ $P$ ， $Q$ $Q$ の座標をそれぞれ $(r, s)$ $(r, s)$ ， $(x, y)$ $(x, y)$ とすると

$\{\begin{cases} x = r + (- 3) \\ y = s + (- 2) \end{cases}$ $\{\begin{cases} x = r + (- 3) \\ y = s + (- 2) \end{cases}$ $\to$ $\to$ $(x, y) = (r - 3, s - 2)$ $(x, y) = (r - 3, s - 2)$ ･･････(4)

の関係がある．これは点 $Q$ $Q$ を点 $P$ $P$ の座標の値を用いて表しているが，逆に点 $P$ $P$ の座標を，点 $Q$ $Q$ の座標の値 $x$ $x$ ， $y$ $y$ を使って表すと

$\{\begin{cases} r = x + 3 \\ s = y + 2 \end{cases}$ $\{\begin{cases} r = x + 3 \\ s = y + 2 \end{cases}$ $\to$ $\to$ $(r, s) = (x + 3, y + 2)$ $(r, s) = (x + 3, y + 2)$ ･･････(5)

となる．(5)は上記の(2)に対応する．

点 $P$ $P$ は $y = x^{2}$ $y = x^{2}$ 上の点であるので

$s = r^{2}$ $s = r^{2}$ ･･････(6)

の関係がある．この(6)の $r$ $r$ と $s$ $s$ に(5)の関係を代入すると

$y + 2 = {(x + 3)}^{2}$ $y + 2 = {(x + 3)}^{2}$

$y = {(x + 3)}^{2} - 2$ $y = {(x + 3)}^{2} - 2$ ･･････(7)

が得られる.(7)は $x$ $x$ と $y$ $y$ の関係を表している．すなわち，この(7)が $y = x^{2}$ $y = x^{2}$ のグラフを $x$ $x$ 軸方向に $- 3$ $- 3$ ， $y$ $y$ 軸方向に $- 2$ $- 2$ 平行移動したグラフを表す関数である．

■別解

２次関数の頂点 $(0, 0)$ $(0, 0)$ を $x$ $x$ 軸方向に $- 3$ $- 3$ ， $y$ $y$ 軸方向に $- 2$ $- 2$ 平行移動すると， $(- 3, - 2)$ $(- 3, - 2)$ に移動する．よって，求める関数は

$y = {(x + 3)}^{2} - 2$ $y = {(x + 3)}^{2} - 2$

となる（ここを参照）．

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最終更新日： 2025年2月9日

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