2次関数のグラフの拡大に関する問題

■問題

2次関数${\displaystyle y=x^2}$ のグラフを原点を中心に$x$ 軸方向に $2$ 倍， $y$ 軸方向に $2$ 倍したグラフを表す関数を求めよ．

■答

${\displaystyle y=2x^2}$  

■解説

関数${\displaystyle y=f\left(x\right)}$ のグラフを原点を中心として $x$ 軸方向に $c$ 倍 ， $y$ 軸方向に $d$ 倍 したグラフを表す関数は

${\displaystyle \frac{y}{d}=f\left(\frac{x}{c}\right)}$　･･････(1)

となる(グラフの拡大を参照)．今回は${\displaystyle c=2}$  ，${\displaystyle d=2}$ に対応する．よって${\displaystyle y=x^2}$ を

${\displaystyle x\to \frac{x}{2}}$ ，${\displaystyle y\to \frac{y}{2}}$　･･････(2)

に書き換えて

${\displaystyle \frac{y}{2}={\left(\frac{x}{2}\right)}^2}$

${\displaystyle y=\frac{x^2}{2}}$　･･････(3)

となる．これが求める関数である．

●基本に立ち返って解く方法

${\displaystyle y=x^2}$ 上の点 $\text{P}$ を原点を中心に$x$ 軸方向に $2$ 倍， $y$ 軸方向に $2$ 倍したものを点 $\text{Q}$ とし，点 $\text{P}$ ， $\text{Q}$ の座標をそれぞれ ${\displaystyle \left(r,s\right)}$ ， $\left(x,y\right)$ とすると

${\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=2r\\ y=2s\end{array}\right.}$ 　 $\to$ 　 ${\displaystyle \left(x,y\right)=\left(2r,2s\right)}$ 　･･････(4)

の関係がある．これは点 $\text{Q}$ を点 $\text{P}$ の座標の値を用いて表しているが，逆に点 $\text{P}$の座標を，点 $\text{Q}$ の座標の値 $x$ ，$y$ を使って表すと

${\displaystyle \left\{\begin{array}{l}r={\displaystyle \frac{x}{2}}\\ s={\displaystyle \frac{y}{2}}\end{array}\right.}$ $\to$ ${\displaystyle \left(r,a\right)=\left(\frac{x}{2},\frac{y}{2}\right)}$ 　･･････(5)

となる．(5)は上記の(2)に対応する．

点 $\text{P}$ は ${\displaystyle y=x^2}$ 上の点であるので

${\displaystyle s=r^2}$ 　　･･････(6)

の関係がある．この(6)の $r$ と $s$ に(5)の関係を代入すると

${\displaystyle \frac{y}{2}={\left(\frac{x}{2}\right)}^2}$

${\displaystyle y=\frac{x^2}{2}}$ 　･･････(7)

が得られる.(7)は $x$ と $y$ の関係を表している．すなわち，この(7)が ${\displaystyle y=x^2}$ のグラフを原点を中心に $x$ 軸方向に $2$ 倍， $y$ 軸方向に $2$ 倍したグラフを表す関数である．

 

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最終更新日：2024年9月13日