2次関数のグラフの拡大に関する問題

■問題

2次関数 $y = x^{2}$ $y = x^{2}$ のグラフを原点を中心に $x$ $x$ 軸方向に $2$ $2$ 倍， $y$ $y$ 軸方向に $2$ $2$ 倍したグラフを表す関数を求めよ．

■動画解説

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■答

$y = 2 x^{2}$ $y = 2 x^{2}$

■解説

関数 $y = f (x)$ $y = f (x)$ のグラフを原点を中心として $x$ $x$ 軸方向に $c$ $c$ 倍， $y$ $y$ 軸方向に $d$ $d$ 倍したグラフを表す関数は

$\frac{y}{d} = f (\frac{x}{c})$ $\frac{y}{d} = f (\frac{x}{c})$ ･･････(1)

となる(グラフの拡大を参照)．今回は $c = 2$ $c = 2$ ， $d = 2$ $d = 2$ に対応する．よって $y = x^{2}$ $y = x^{2}$ を

$x \to \frac{x}{2}$ $x \to \frac{x}{2}$ ， $y \to \frac{y}{2}$ $y \to \frac{y}{2}$ ･･････(2)

に書き換えて

$\frac{y}{2} = {(\frac{x}{2})}^{2}$ $\frac{y}{2} = {(\frac{x}{2})}^{2}$

$y = \frac{x^{2}}{2}$ $y = \frac{x^{2}}{2}$ ･･････(3)

となる．これが求める関数である．

●基本に立ち返って解く方法

$y = x^{2}$ $y = x^{2}$ 上の点 $P$ $P$ を原点を中心に $x$ $x$ 軸方向に $2$ $2$ 倍， $y$ $y$ 軸方向に $2$ $2$ 倍したものを点 $Q$ $Q$ とし，点 $P$ $P$ ， $Q$ $Q$ の座標をそれぞれ $(r, s)$ $(r, s)$ ， $(x, y)$ $(x, y)$ とすると

$\{\begin{cases} x = 2 r \\ y = 2 s \end{cases}$ $\{\begin{cases} x = 2 r \\ y = 2 s \end{cases}$ $\to$ $\to$ $(x, y) = (2 r, 2 s)$ $(x, y) = (2 r, 2 s)$ ･･････(4)

の関係がある．これは点 $Q$ $Q$ を点 $P$ $P$ の座標の値を用いて表しているが，逆に点 $P$ $P$ の座標を，点 $Q$ $Q$ の座標の値 $x$ $x$ ， $y$ $y$ を使って表すと

$\{\begin{cases} r = \frac{x}{2} \\ s = \frac{y}{2} \end{cases}$ $\{\begin{cases} r = \frac{x}{2} \\ s = \frac{y}{2} \end{cases}$ $\to$ $\to$ $(r, a) = (\frac{x}{2}, \frac{y}{2})$ $(r, a) = (\frac{x}{2}, \frac{y}{2})$ ･･････(5)

となる．(5)は上記の(2)に対応する．

点 $P$ $P$ は $y = x^{2}$ $y = x^{2}$ 上の点であるので

$s = r^{2}$ $s = r^{2}$ ･･････(6)

の関係がある．この(6)の $r$ $r$ と $s$ $s$ に(5)の関係を代入すると

$\frac{y}{2} = {(\frac{x}{2})}^{2}$ $\frac{y}{2} = {(\frac{x}{2})}^{2}$

$y = \frac{x^{2}}{2}$ $y = \frac{x^{2}}{2}$ ･･････(7)

が得られる.(7)は $x$ $x$ と $y$ $y$ の関係を表している．すなわち，この(7)が $y = x^{2}$ $y = x^{2}$ のグラフを原点を中心に $x$ $x$ 軸方向に $2$ $2$ 倍， $y$ $y$ 軸方向に $2$ $2$ 倍したグラフを表す関数である．

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最終更新日：2025年2月9日