2次関数の　頂点　グラフ　最小値　切片

■問題

2次関数${\displaystyle y=3x^2-12x+9}$ について以下の問いに答えよ．

1. 頂点の座標を求めよ．
2. グラフを描け．
3. 最小値を求めよ．
4. x  切片，y  切片を求めよ．

■答

1. 頂点の座標は${\displaystyle \left(2,-3\right)}$
2. 最小値は，${\displaystyle x=2}$ のときで，$-3$
3. グラフは詳解をみよ．
4. x  切片 は$1$，$3$，y  切片 は$9$

■解説

2次関数${\displaystyle y=3x^2-12x+9}$ をグラフの特徴がわかるように以下のように式を変形（平方完成）する．

${\displaystyle x^2}$ の係数$3$ で ${\displaystyle x^2}$ の項と ${\displaystyle x}$ の項をくくる．

${\displaystyle y=3\left(x^2-4x\right)+9}$

（ ）の中で$4$をたして$4$を引く．差し引き$0$で値は変わらない．　

${\displaystyle =3\left(x^2-4x+4-4\right)+9}$

${\displaystyle =3\left\{{\left(x-2\right)}^2-4\right\}+9}$

${\displaystyle =3{\left(x-2\right)}^2+3\left(-4\right)+9}$

${\displaystyle =3{\left(x-2\right)}^2-3}$

よって，頂点の座標は${\displaystyle \left(2,-3\right)}$  となる．

グラフを描くために更に式を変形する．

${\displaystyle y+3=3{\left(x-2\right)}^2}$  

${\displaystyle \frac{y+3}{3}={\left(\frac{x-2}{1}\right)}^2}$  

この式より，求めるグラフは，2次関数の最も単純な${\displaystyle y=x^2}$ のグラフを，原点を中心として $y$ 軸方向$3$倍（拡大）した後， $x$ 軸方向に $2$， $y$ 軸方向に $-3$平行移動したものである（拡大→平行移動を参照）．グラフを下の図に示す．

最小値は，${\displaystyle x=2}$ のときで， $-3$ となる．

$x$ 切片を求める．

${\displaystyle y=0}$ のときの $x$ の値であるので

$3x^2-12x+9=0$

の2次方程式を解けばよい．

因数分解する．

各項の共通因数である$3$でくくる．

${\displaystyle 3\left(x^2-4x+3\right)=0}$

(　)の中をたすきがけで因数分解する．

${\displaystyle \begin{array}{lllll}1\hfill & {}_{\searrow }{}_{\nearrow }\hfill & -1\hfill & \to \hfill & -1\hfill \\ 1\hfill & {}^{\nearrow }{}^{\searrow }\hfill & -3\hfill & \to \hfill & -3\hfill \\ \hfill & \hfill & \hfill & \hfill & -4\hfill \end{array}}$

${\displaystyle 3\left(x-3\right)\left(x-1\right)=0}$

よって，${\displaystyle x=1,3}$ となる．すなわち，x  切片 は$1$，$3$となる．

y 切片を求める．

${\displaystyle x=0}$ のときの y の値であるので

${\displaystyle y=3\cdot 0^2-12\cdot 0+9}$

よって，${\displaystyle y=9}$ となる．すなわち，y 切片は$9$となる．

 

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最終更新日： 2024年9月13日