問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

極限　x→∞　の問題 

■問題

次の極限を求めよ．ただし，n は自然数である．

${\displaystyle \underset{x\to \infty }{lim}\left(\sqrt[n]{x}-{log}_{e}x\right)}$  

■答

${\displaystyle \infty }$

■ヒント

与式の関数は，累乗根と対数からなる．変数xを他の変数に置き換えることによって，極限の基本式を使えるようにする．

■解説

${\displaystyle x=e^{nt}}$  とおくと，${\displaystyle x\to \infty }$ のとき，${\displaystyle t\to \infty }$となる．よって

${\displaystyle \underset{x\to \infty }{lim}\left(\sqrt[n]{x}-{log}_{e}x\right)}$${\displaystyle =\underset{t\to \infty }{lim}\left(\sqrt[n]{e^{nt}}-{log}_e{e}^{nt}\right)}$

${\displaystyle =\underset{t\to \infty }{lim}\left(e^t-nt{log}_{e}e\right)}$

${\displaystyle =\underset{t\to \infty }{lim}\left(e^t-nt\right)}$

${\displaystyle =\underset{t\to \infty }{lim}{e}^t\left(1-n\frac{t}{e^t}\right)}$

${\displaystyle \underset{x\to \infty }{lim}\frac{x}{e^x}=0}$ より

${\displaystyle =\infty }$

 

　

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最終更新日： 2025年10月8日

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