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極限の計算問題

■問題

次の極限を求めよ．

${\displaystyle \underset{x\to 3}{\lim }\frac{\left|x-3\right|}{x^2-9}}$

■答

極限は存在しない

■ヒント

${\displaystyle x\to 3}$ のとき，変数${\displaystyle x}$ の近づけ方は，右側極限と左側極限の${\displaystyle 2}$ 通りある．

右側極限と左側極限が一致するとき，極限値が存在するので，これらの極限を考えると良い．

まず右側極限を考えると

${\displaystyle \underset{x\to 3+0}{\lim }\frac{x-3}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}}$ ${\displaystyle =\underset{x\to 3+0}{\lim }\frac{1}{x+3}}$

同様にして左側極限を調べれば良い．

■解き方

${\displaystyle x=3}$ を境に絶対値${\displaystyle \left|x-3\right|}$ の符号が変わるので，右側極限と左側極限を考える．

まず右側極限を考えると

${\displaystyle 3<x}$ のとき，${\displaystyle \left|x-3\right|=x-3}$ であるから

${\displaystyle \underset{x\to 3+0}{\lim }\frac{\left|x-3\right|}{x^2-9}}$ ${\displaystyle =\underset{x\to 3+0}{\lim }\frac{x-3}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}}$

${\displaystyle =\underset{x\to 3+0}{\lim }\frac{1}{x+3}}$

${\displaystyle =\frac{1}{6}}$

同様にして左側極限を考えると

${\displaystyle x>3}$ のとき，${\displaystyle \left|x-3\right|=-\left(x-3\right)}$ であるから

${\displaystyle \underset{x\to 3-0}{\lim }\frac{\left|x-3\right|}{x^2-9}}$ ${\displaystyle =\underset{x\to 3-0}{\lim }\frac{-\left(x-3\right)}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}}$

${\displaystyle =\underset{x\to 3-0}{\lim }-\frac{1}{x+3}}$

${\displaystyle =-\frac{1}{6}}$

となる．

右側極限${\displaystyle \underset{x\to 3+0}{\lim }\frac{\left|x-3\right|}{x^2-9}}$ ${\displaystyle =\frac{1}{6}}$ ，左側極限${\displaystyle \underset{x\to 3-0}{\lim }\frac{\left|x-3\right|}{x^2-9}}$ ${\displaystyle =-\frac{1}{6}}$ より，${\displaystyle 2}$つの極限値は一致しない．

したがって，${\displaystyle \underset{x\to 3}{\lim }\frac{\left|x-3\right|}{x^2-9}}$ の極限 は存在しない．

 

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最終更新日： 2026年6月10日

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