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極限の計算問題

■問題

次の極限を求めよ．

${\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }\frac{\tan x-\sin x}{x^3}}$

■答

${\displaystyle \frac{1}{2}}$

■ヒント

三角関数の極限では ${\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1}$ を利用できるように式変形すると極限が求まる場合が多い．

${\displaystyle \tan x=\frac{\sin x}{\cos x}}$ より，関係式を利用できるように式変形すると

${\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }\frac{\tan x-\sin x}{x^3}}$ ${\displaystyle =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{\sin x}{\cos x}-\sin x}{x^3}}$

${\displaystyle =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x\left(\frac{1}{\cos x}-1\right)}{x^3}}$

${\displaystyle =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x\left(\frac{1-\cos x}{\cos x}\right)}{x^3}}$

${\displaystyle =\underset{x\to 0}{\lim }\left(\frac{\sin x}{x}\cdot \frac{1}{\cos x}\cdot \frac{1-\cos x}{x^2}\right)}$

となり，上記の関係式を含む式となった．

■解き方

${\displaystyle x\to 0}$ のとき，${\displaystyle \tan x-\sin x\to 0}$ ，${\displaystyle x^3\to 0}$ となり，${\displaystyle \frac{0}{0}}$ の不定形となる．

${\displaystyle \tan x=\frac{\sin x}{\cos x}}$ より， ${\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1}$ を利用できるように式変形すると

${\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }\frac{\tan x-\sin x}{x^3}}$ ${\displaystyle =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{\sin x}{\cos x}-\sin x}{x^3}}$

${\displaystyle =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x\left(\frac{1}{\cos x}-1\right)}{x^3}}$

${\displaystyle =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x\left(\frac{1-\cos x}{\cos x}\right)}{x^3}}$

${\displaystyle =\underset{x\to 0}{\lim }\left(\frac{\sin x}{x}\cdot \frac{1}{\cos x}\cdot \frac{1-\cos x}{x^2}\right)}$

${\displaystyle =\left(\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}\right)\left(\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{\cos x}\right)\left(\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x^2}\right)}$  （∵ここを参照）

となる．

左の極限式はヒントの関係式より

${\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1}$

真ん中の極限式は

${\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{\cos x}=\frac{1}{\cos 0}=1}$

右の極限式において，${\displaystyle x\to 0}$ のとき，${\displaystyle 1-\cos x\to 0}$ ，${\displaystyle x^2\to 0}$ となり，${\displaystyle \frac{0}{0}}$の不定形となる．

分母，分子に${\displaystyle 1+\cos x}$ を掛けて ${\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1}$ を利用できるように式変形し，上記と同様にして極限値を求めると

${\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x^2}}$ ${\displaystyle =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\left(1-\cos x\right)\left(1+\cos x\right)}{x^2\left(1+\cos x\right)}}$

${\displaystyle =\underset{x\to 0}{\lim }\left(\frac{{\sin }^{2}x}{x^2}\cdot \frac{1}{1+\cos x}\right)}$

${\displaystyle ={\left(\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}\right)}^2\left(\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{1+\cos x}\right)}$  （∵ここを参照）

${\displaystyle =1\cdot \frac{1}{2}}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}}$

となる．

したがって求める極限値は

${\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }\frac{\tan x-\sin x}{x^3}}$ ${\displaystyle =1\cdot 1\cdot \frac{1}{2}}$ ${\displaystyle =\frac{1}{2}}$

となる．

 

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最終更新日2026年6月10日

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