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極限の計算問題

■問題

次の極限を求めよ．

${\displaystyle \underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x^7-2x^2}{3x^6+4}}$

■答

${\displaystyle \infty }$

■ヒント

${\displaystyle x\to \infty }$ のとき，分子${\displaystyle \to \infty }$ ，分母${\displaystyle \to \infty }$ となり，${\displaystyle \frac{\infty }{\infty }}$ の不定形となる．

このような場合，分母あるいは分子の次数の大きい方の最高次数の${\displaystyle x^7}$ で分母，分子を割るとよい．

関数の極限値の性質も参考にする．

■解き方

分子の最高次数は${\displaystyle x^7}$より，分母，分子をその数で割ると

${\displaystyle {\displaystyle \underset{x\to \infty }{\lim }\frac{1-\frac{2}{x^5}}{\frac{3}{x}+\frac{4}{x^7}}}}$

${\displaystyle x\to \infty }$ のとき，${\displaystyle \frac{1}{x}\to 0}$ ，${\displaystyle \frac{1}{x^5}\to 0}$ ，${\displaystyle \frac{1}{x^7}\to 0}$ となる．

分子→${\displaystyle 1}$，分母→${\displaystyle 0}$となる．この時，分母が${\displaystyle 0}$ に近づくにつれて値が大きくなる．

参考までに以下に示す通りである．

　${\displaystyle \frac{1.1}{0.1}<\frac{1.01}{0.01}<\frac{1.001}{0.001}<\frac{1.0001}{0.0001}}$

つまり極限値は

${\displaystyle =\frac{1-0}{0+0}}$

${\displaystyle =\infty }$

となる．

よって求める極限値は

${\displaystyle \infty }$

となる．

 

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最終更新日： 2026年6月9日

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