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極限の計算問題

■問題

次の極限を求めよ．

${\displaystyle \underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\sqrt{9x^2+1}}{2x-1}}$

■答

${\displaystyle \frac{3}{2}}$

■ヒント

${\displaystyle x\to \infty }$ のとき，分子 ${\displaystyle \to \infty }$ ，分母 ${\displaystyle \to \infty }$ となり， ${\displaystyle \frac{\infty }{\infty }}$ の不定形となる．

このような場合，分母あるいは分子の次数の大きい方の最高次数の ${\displaystyle x}$ で分母，分子を割るとよい．

関数の極限値の性質も参考にする．

■解き方

分母の最高次数は ${\displaystyle x}$ より，すべての項を ${\displaystyle x}$ で割る．

このとき， ${\displaystyle x\to \infty }$ としているので， ${\displaystyle x=\sqrt{x^2}}$ であることに注意すると

${\displaystyle \underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\sqrt{9x^2+1}}{2x-1}}$ ${\displaystyle =\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\frac{1}{x}\sqrt{9x^2+1}}{\frac{1}{x}\left(2x-1\right)}}$ ${\displaystyle =\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\sqrt{9+\frac{1}{x^2}}}{2-\frac{1}{x}}}$

${\displaystyle x\to \infty }$ のとき， ${\displaystyle \frac{1}{x}\to 0}$ ， ${\displaystyle \frac{1}{x^2}\to 0}$ となるので

${\displaystyle =\frac{\sqrt{9+0}}{2-0}}$

${\displaystyle =\frac{3}{2}}$

となる．

よって求める極限値は

${\displaystyle \frac{3}{2}}$

となる．

 

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最終更新日： 2026年6月9日

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