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極限の計算問題

■問題

次の極限を求めよ．

${\displaystyle \underset{x\to \infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+8x}-x\right)}$

■答

${\displaystyle 4}$

■ヒント

${\displaystyle x\to \infty }$ のとき， ${\displaystyle \sqrt{x^2+8x}\to \infty }$ ， ${\displaystyle x\to \infty }$ となり， ${\displaystyle \infty -\infty }$ の不定形となる．

このような場合， ${\displaystyle \sqrt{x^2+8x}-x}$ ${\displaystyle =\frac{\sqrt{x^2+8x}-x}{1}}$ と考え，分母，分子に ${\displaystyle \sqrt{x^2+8x}+x}$ を掛けて分子を有理化をするとよい．

参考： ${\displaystyle x\to \infty }$ のとき， ${\displaystyle \sqrt{x^2+8x}}$ は ${\displaystyle \sqrt{x^2+8x+16}}$ ${\displaystyle =\sqrt{{\left(x+4\right)}^2}}$ ${\displaystyle =x+4}$ より ${\displaystyle x+4}$ に近い値となる．

■解き方

${\displaystyle x\to \infty }$ のとき， ${\displaystyle \left(\sqrt{x^2+8x}\right)\to \infty }$ ， ${\displaystyle x\to \infty }$ となり， ${\displaystyle \infty -\infty }$ の不定形となる．

そこで不定形を解消するために分子を有理化をする．

${\displaystyle \sqrt{x^2+8x}-x}$ ${\displaystyle =\frac{\sqrt{x^2+8x}-x}{1}}$ と考え，分母，分子に ${\displaystyle \sqrt{x^2+8x}+x}$ をかけると

${\displaystyle \underset{x\to \infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+8x}-x\right)}$ ${\displaystyle =\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\sqrt{x^2+8x}-x}{1}}$

${\displaystyle =\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{8x}{\sqrt{x^2+8x}+x}}$

分母の最高次数が ${\displaystyle x}$ より，分母，分子を ${\displaystyle x}$ で割る．

このとき， ${\displaystyle x\to \infty }$ より， ${\displaystyle x=\sqrt{x^2}}$ であることに注意すると

${\displaystyle =\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\frac{1}{x}\cdot 8x}{\frac{1}{x}\left(\sqrt{x^2+8x}+x\right)}}$

${\displaystyle =\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{8}{\sqrt{1+\frac{8}{x}}+1}}$

${\displaystyle x\to \infty }$ のとき， ${\displaystyle \frac{1}{x}\to 0}$ となるので

${\displaystyle =\frac{8}{\sqrt{1+0}+1}}$

${\displaystyle =4}$

●別解

以下のように式変形すると

${\displaystyle \underset{x\to \infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+8x}-x\right)}$ ${\displaystyle =\underset{x\to \infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2\left(1+\frac{8}{x}\right)}-x\right)}$ ${\displaystyle =\underset{x\to \infty }{\lim }x\left(\sqrt{1+\frac{8}{x}}-1\right)}$

${\displaystyle x=\frac{1}{t}}$ と置くと， ${\displaystyle x\to \infty }$ のとき， ${\displaystyle t\to 0}$ となる．

よって上記の式を書き換えると

${\displaystyle \underset{t\to 0}{\lim }\frac{1}{t}\left(\sqrt{1+8t}-1\right)}$ ${\displaystyle =\underset{t\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{1+8t}-1}{t}}$

${\displaystyle t\to 0}$ のとき，分母は ${\displaystyle t\to 0}$ ，分子は ${\displaystyle \sqrt{1+8t}-1\to 0}$ となる．よって，ロピタルの定理を用いると

${\displaystyle =\underset{t\to 0}{\lim }\frac{{\left(\sqrt{1+8t}-1\right)}^{\prime }}{{\left(t\right)}^{\prime }}}$

${\displaystyle =\underset{t\to 0}{\lim }\frac{\frac{8}{2\sqrt{1+8t}}}{1}}$

${\displaystyle =\underset{t\to 0}{\lim }\frac{4}{\sqrt{1+8t}}}$

${\displaystyle =4}$

 

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最終更新日： 2026年6月11日

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