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ロピタルの定理

関数 f x g x が下記に示すi,ii,iiiの条件を満たし, lim xa f x g x = 0 0 , の不定形で, lim xa f x g x が収束,あるいは, ± のとき

lim xa f x g x = lim xa f x g x

が成り立つ.

  1. a を含む開区間I( a を除くことも可能である)で,関数 f x g x 微分可能で, g x 0 である.

  2. lim xa f x =0 lim xa g x =0 ,あるいは, lim xa f x =± lim xa f x =± である.

  3. lim xa f x g x が存在( ± でもよい)する.

■証明

I. a を含む開区間Iにおいて,関数 f x g x が微分可能, g x 0 で, f a =0 g a =0 ,かつ, lim xa f x g x が存在する特殊な場合

f a =0 g a =0 より以下のように式を変形することができる.

lim xa f x g x = lim xa f x f a g x g a = lim xa f x f a xa g x g a xa

微分係数の定義式より

= f a g a

a を含む開区間Iにおいて,関数 f x g x が微分可能より f x g x が連続であることから

= lim xa f x lim xa g x = lim xa f x g x

となる.

II. a を含む開区間I( a を除くことも可能である)において,関数 f x g x が微分可能, g x 0 で, lim xa f x =0 lim xa g x =0 ではあるが f a =0 g a =0 とならず,かつ, lim xa f x g x が存在する特殊な場合

以下に示す関数を導入する.

F x = f x xa 0 x=a G x = g x xa 0 x=a  ・・・・・・(1)

F x G x x=a で連続)

証明Iより

lim xa F x G x = lim xa F x G x  ・・・・・・(2)

が成り立つ.

x > a の場合について

(1)より

F x =f x G x =g x

となり,(2)を(3)のように書き換えることができる.

lim xa+0 f x g x = lim xa+0 f x g x  ・・・・・・(3)

x < a の場合について

(1)より

F x =f x G x =g x

となり,(2)を(4)のように書き換えることができる.

lim xa0 f x g x = lim xa0 f x g x  ・・・・・・(4)

(3)と(4)を合わせると

lim xa f x g x = lim xa f x g x

が成り立つ.

III. a を含む開区間I( a を除くことも可能である)において,関数 f x g x が微分可能, g x 0 で, lim xa f x =± lim xa g x =± ,かつ, lim xa f x g x が存在する( ± でもよい)場合

lim xa f x g x =α  ・・・・・・(5)

とおく.(5)をε-δ論法で言い換えると

ε>0 を任意に1つ選び固定する.この ε に対して, 0< xa <δ f x g x α <ε を満たすある正の数 δ が存在する.」 ・・・・・・(6)

となる.

a < x < b 1 の場合

閉区間 x, b 1 コーシーの平均値の定理を適用すると

f x f b 1 g x g b 1 = f c 1 g c 1  ・・・・・・(7)

を満たす c 1 x< c 1 < b 1 が存在する.

b 1 a に近づけていくと, c 1 a に近づき, 0< c 1 a <δ となる.

このとき,(6)より

f c 1 g c 1 α <ε  ・・・・・・(8)

が成り立つ.

(7)を以下のように変形する.

f x 1 f b 1 f x g x 1 g b 1 g x = f c 1 g c 1

f x g x · 1 f b 1 f x 1 g b 1 g x = f c 1 g c 1  ・・・・・・(9)

(8)に(9)を代入する.

f x g x · 1 f b 1 f x 1 g b 1 g x α <ε  ・・・・・・(10)

b 1 を固定し xa+0 の極限をとる.

xa+0 のとき, f x ± g x ± f b 1 g b 1 は有限の値なので, f b 1 f x 0 g b 1 g x 0 となり,(10)は

f x g x α <ε

となる.よって

xa+0 のとき, 0< c 1 a <δ f x g x α <ε  ・・・・・・(11)

が成り立つ.

a<x< c 1 < b 1 より

0< c 1 a <δ0< xa <δ

したがって

xa+0 のとき, 0< xa <δ f x g x α <ε

すなわち

lim xa+0 f x g x =α  のとき, lim xa+0 f x g x =α  ・・・・・・(12)

成り立つ

b 2 < x < a の場合

閉区間 b 2 ,x でコーシーの平均値の定理を適用すると

f b 2 f x g b 2 g x = f c 2 g c 2  ・・・・・・(13)

を満たす c 2 x< c 2 < b 2 が存在する.

b 2 a に近づけていくと, c 2 a に近づき, 0< c 2 a <δ となる.

このとき,(6)より

f c 2 g c 2 α <ε  ・・・・・・(14)

が成り立つ.

(13)を以下のように変形する.

f x f b 2 f x 1 g x g b 2 g x 1 = f c 2 g c 2

f x g x · f b 2 f x 1 g b 2 g x 1 = f c 2 g c 2  ・・・・・・(15)

(14)に(15)を代入する.

f x g x · f b 2 f x 1 g b 2 g x 1 α <ε  ・・・・・・(16)

b 2 を固定し xa0 の極限をとる.

xa0 のとき, f x ± g x ± f b 2 g b 2 は有限の値なので, f b 2 f x 0 g b 2 g x 0 となり,(16)は

f x g x α <ε

となる.よって

xa0 のとき, 0< c 2 a <δ f x g x α <ε  ・・・・・・(17)

が成り立つ.

b 2 < c 2 <x<a より

0< c 2 a <δ0< xa <δ

したがって

xa0 のとき, 0< xa <δ f x g x α <ε

すなわち

lim xa0 f x g x =α  のとき, lim xa0 f x g x =α  ・・・・・・(18)

成り立つ

(12)と(18)を合わせると

lim xa f x g x =α のとき, lim xa f x g x =α

すなわち

lim xa f x g x = lim xa f x g x  ・・・・・・(19)

が成り立つ.

IY. a± の場合

t= 1 x となる変数 t f 1 t =H t g 1 t =I t となる関数 H t I t を導入する.

t0 x± のとき t±0 である.

H t = f 1 t = f 1 t × 1 t = f 1 t × 1 t 2

I t = g 1 t = f 1 t × 1 t = g 1 t × 1 t 2

より

関数 H t I t は0を除く0の近傍で微分可能で, I t 0 である.・・・・・・(20)

また

lim t±0 H t I t = lim t±0 f 1 t 1 t 2 g 1 t 1 t 2 = lim t±0 f 1 t g 1 t =lim x± f x g x

より

lim x± f x g x が存在すると lim t±0 H t I t も存在する.・・・・・・(21)

lim x ± f x = 0 lim x ± g x = 0 の時

x± のとき, t±0 となることより

lim t±0 H x =0 lim t±0 I x =0  ・・・・・・(22)

となる.(20),(21),(22)より(3)および(4)が適用でき

lim t+0 H t I t = lim t+0 H t I t

すなわち

lim x± f x g x = lim x± f x g x  ・・・・・・(23)

が得られる.

lim x ± f x = ± lim x ± g x = ± の時

x± のとき, t±0 となることより

lim t±0 H x =± lim t±0 I x =±  ・・・・・・(24)

となる.(20),(21),(24)より(12),(18)が適用でき

lim t±0 H t I t = lim t±0 H t I t

すなわち

lim x± f x g x = lim x± f x g x  ・・・・・・(25)

が得られる.

 

【参考図書】
微分積分キャンパスゼミ 著者:高杉豊,馬場敬之 出版社:マセマ出版社
Calculus 7E 著者:James Stewart 出版社:Brooks/Cole Pub Co

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最終更新日: 2022年6月28日

    

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