ラプラス変換に関する問題

■問題

次の式をラプラス変換を用いて，一般解を求めなさい．

${\displaystyle y^{″}-2y^{\prime }+y=0}$

(初期条件：${\displaystyle y\left(0\right)=2}$，${\displaystyle y^{\prime }\left(0\right)=3}$)

■答

${\displaystyle y=t{e}^t+2e^t}$

■ヒント

ラプラス変換の微分則を用いて解く．

■解き方

ラプラス変換すると

${\displaystyle y\stackrel{\mathcal{L}}{\to }Y\left(s\right)}$

${\displaystyle y^{\prime }\stackrel{\mathcal{L}}{\to }sY\left(s\right)-y\left(0\right)}$

${\displaystyle y^{″}\stackrel{\mathcal{L}}{\to }{s}^{2}Y\left(s\right)-s\cdot y\left(0\right)-y^{\prime }\left(0\right)}$

となり，これらを式に代入

${\displaystyle s^{2}Y\left(s\right)-sy\left(0\right)-y^{\prime }\left(0\right)}$${\displaystyle -2\left(sY\left(s\right)-y\left(0\right)\right)}$${\displaystyle +Y\left(s\right)=0}$

初期条件より

${\displaystyle \left(s^2-2s+1\right)Y\left(s\right)-2s+1=0}$

${\displaystyle Y\left(s\right)=\frac{2s-1}{{\left(s-1\right)}^2}}$

ここで，部分分数分解をする．

${\displaystyle Y\left(s\right)=\frac{k_1}{{\left(s-1\right)}^2}+\frac{k_2}{s-1}}$

${\displaystyle \frac{k_1}{{\left(s-1\right)}^2}+\frac{k_2}{s-1}=\frac{2s-1}{{\left(s-1\right)}^2}}$

${\displaystyle \frac{k_{2}s+k_1-k_2}{{\left(s-1\right)}^2}=\frac{2s-1}{{\left(s-1\right)}^2}}$

分子を係数比較すると

${\displaystyle k_1=1}$，${\displaystyle k_2=2}$

よって

${\displaystyle Y\left(s\right)=\frac{1}{{\left(s-1\right)}^2}+\frac{2}{s-1}}$

逆ラプラス変換をする　⇒ラプラス変換表はこちら

${\displaystyle y=t{e}^t+2e^t}$

■別解

定数係数線形同次微分方程式の解法を用いて解く．

特性方程式

${\displaystyle {\lambda }^2-2\lambda +1=0}$

より

${\displaystyle {\left(\lambda -1\right)}^2=0}$

${\displaystyle \lambda =1}$

よって一般解(ここを参照)は

${\displaystyle y=\left(C_1-C_{2}t\right)e^t}$　　(ただし${\displaystyle C_1,C_2}$ は任意定数)

${\displaystyle y^{\prime }=\left(C_1-C_{2}t\right)e^t-C_2{e}^t}$

初期条件より

${\displaystyle y\left(0\right)=C_1=2}$　･･････(1)

${\displaystyle y^{\prime }\left(0\right)=C_1-C_2=3}$　･･････(2)

(1)，(2)より

${\displaystyle C_1=2,C_2=-1}$

よって

${\displaystyle y=t{e}^t+2e^t}$

　

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最終更新日： 2023年6月6日