ラプラス変換に関する問題

ラプラス変換に関する問題

■問題

次の式をラプラス変換を用いて,一般解を求めなさい.

y 10 y +29y=0

(初期条件: y 0 =1 y 0 =0 )

■答

y= e 5t ( cos2t+ 5 2 sin2t )

■ヒント

ラプラス変換の微分則を用いて解く

■解き方

ラプラス変換をすると

y L Y s

y L sY s y 0

y L s 2 Y s sy 0 y 0

となり,これらを式に代入

s 2 Y s sy 0 y 0 10( sY s y 0 ) +29Y s =0

初期条件より

s 2 Y s +s10( sY s +1 )+29Y s =0

( s 2 10s+29 )Y s +s10=0

Y s = s+10 s 2 10s+29

Y s = s+10 ( s5+2i )( s52i )

ここで,部分分数分解をする.

Y s = k 1 s5+2i + k 2 s52i

k 1 = lim s52i ( s5+2i ) s+10 ( s5+2i )( s52i ) = 25i 4

k 2 = lim s5+2i ( s52i ) s+10 ( s5+2i )( s52i ) = 2+5i 4

Y s = 25i 4 1 s5+2i 2+5i 4 1 s52i

逆ラプラス変換をする ラプラス変換表はこちら

y = 25i 4 e ( 52i )t 2+5i 4 e ( 5+2i )t

= 1 4 { ( 25i ) e 5t e 2it +( 2+5i ) e 5t e 2it }

= 1 4 e 5t { ( 25i ) e 2it +( 2+5i ) e 2it }

オイラーの公式より

y = 1 4 e 5t { ( 25i )( cos2tisin2t ) +( 2 +5i )( cos2t+isin2t ) }

= 1 4 e 5t { ( 25i+2+5i )cos2t +( 2 +5i +2+5i )isin2t }

= 1 4 e 5t ( 4cos2t10sin2t )

= e 5t ( cos2t+ 5 2 sin2t )

■別解

定数係数線形同次微分方程式の解法を用いて解く.

特性方程式

λ 2 10λ+29=0

より

λ=5±2i

よって一般解は

y= e 5t ( C 1 cos2t+ C 2 sin2t )     (ただし C 1 C 2 は任意定数)

y =5 e 5t ( C 1 cos2t+ C 2 sin2t ) + e 5t ( 2 C 1 sin2t +2 C 2 cos2t )

初期条件より

y 0 = C 1  ・・・・・・(1)

y 0 =5 C 1 +2 C 2  ・・・・・(2)

(1),(2)より

C 1 =1, C 2 = 5 2

よって

y= e 5t ( cos2t+ 5 2 sin2t )

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最終更新日: 2023年6月6日