ラプラス変換に関する問題

■問題

次の式をラプラス変換を用いて，一般解を求めなさい．

${\displaystyle y^{″}-10y^{\prime }+29y=0}$

(初期条件：${\displaystyle y\left(0\right)=-1}$，${\displaystyle y^{\prime }\left(0\right)=0}$)

■答

${\displaystyle y=e^{5t}\left(-\cos 2t+\frac{5}{2}\sin 2t\right)}$

■ヒント

ラプラス変換の微分則を用いて解く

■解き方

ラプラス変換をすると

${\displaystyle y\stackrel{\mathcal{L}}{\to }Y\left(s\right)}$

${\displaystyle y^{\prime }\stackrel{\mathcal{L}}{\to }sY\left(s\right)-y\left(0\right)}$

${\displaystyle y^{″}\stackrel{\mathcal{L}}{\to }{s}^{2}Y\left(s\right)-s\cdot y\left(0\right)-y^{\prime }\left(0\right)}$

となり，これらを式に代入

${\displaystyle s^{2}Y\left(s\right)-sy\left(0\right)-y^{\prime }\left(0\right)}$${\displaystyle -10\left(sY\left(s\right)-y\left(0\right)\right)}$${\displaystyle +29Y\left(s\right)}$${\displaystyle =0}$

初期条件より

${\displaystyle s^{2}Y\left(s\right)+s-10\left(sY\left(s\right)+1\right)+29Y\left(s\right)=0}$

${\displaystyle \left(s^2-10s+29\right)Y\left(s\right)+s-10=0}$

${\displaystyle Y\left(s\right)=\frac{-s+10}{s^2-10s+29}}$

${\displaystyle Y\left(s\right)=\frac{-s+10}{\left(s-5+2i\right)\left(s-5-2i\right)}}$

ここで，部分分数分解をする．

${\displaystyle Y\left(s\right)=\frac{k_1}{s-5+2i}+\frac{k_2}{s-5-2i}}$

逆ラプラス変換をする　⇒ラプラス変換表はこちら

${\displaystyle y}$${\displaystyle =-\frac{2-5i}{4}{e}^{\left(5-2i\right)t}-\frac{2+5i}{4}{e}^{\left(5+2i\right)t}}$

${\displaystyle =-\frac{1}{4}{e}^{5t}\left\{\left(2-5i\right)e^{-2it}+\left(2+5i\right)e^{2it}\right\}}$

オイラーの公式より

${\displaystyle y}$${\displaystyle =-\frac{1}{4}{e}^{5t}\{\left(2-5i\right)\left(\cos 2t-i\sin 2t\right)}$${\displaystyle +(2}$${\displaystyle +5i)\left(\cos 2t+i\sin 2t\right)\}}$

${\displaystyle =-\frac{1}{4}{e}^{5t}\{\left(2-5i+2+5i\right)\cos 2t}$${\displaystyle +(-2}$${\displaystyle +5i}$${\displaystyle +2+5i)i\sin 2t\}}$

${\displaystyle =-\frac{1}{4}{e}^{5t}\left(4\cos 2t-10\sin 2t\right)}$

${\displaystyle =e^{5t}\left(-\cos 2t+\frac{5}{2}\sin 2t\right)}$

■別解

定数係数線形同次微分方程式の解法を用いて解く．

特性方程式

${\displaystyle {\lambda }^2-10\lambda +29=0}$

より

${\displaystyle \lambda =5\pm 2i}$

よって一般解は

${\displaystyle y=e^{5t}\left(C_1\cos 2t+C_2\sin 2t\right)}$ 　　　　(ただし${\displaystyle C_1，C_2}$は任意定数)

${\displaystyle y^{\prime }=5e^{5t}\left(C_1\cos 2t+C_2\sin 2t\right)}$${\displaystyle +e^{5t}(-2C_1\sin 2t}$${\displaystyle +2C_2\cos 2t)}$

初期条件より

${\displaystyle y\left(0\right)=C_1}$　･･････(1)

${\displaystyle y^{\prime }\left(0\right)=5C_1+2C_2}$　･････(2)

(1)，(2)より

${\displaystyle C_1=-1,C_2=\frac{5}{2}}$

よって

${\displaystyle y=e^{5t}\left(-\cos 2t+\frac{5}{2}\sin 2t\right)}$

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最終更新日： 2023年6月6日