べき級数に展開する問題

■問題

$\frac{1}{(1 + x) (1 - 2 x)}$

$\frac{1}{a (x - α) (x - β)}$ $= \frac{1}{a (α - β)} (\frac{1}{x - α} - \frac{1}{x - β})$

この部分分数に分解する公式を使用し，

$\frac{1}{(1 + x) (1 - 2 x)}$ を部分分数に分解する．（部分分数に分解する手順）

$\frac{1}{(1 + x) (1 - 2 x)}$ $= \frac{1}{(x + 1) {(- 2) (x - \frac{1}{2})}}$

$= \frac{1}{(- 2) (x + 1) (x - \frac{1}{2})}$

$= \frac{1}{(- 2) (- 1 - \frac{1}{2})} (\frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x - \frac{1}{2}})$

$= \frac{1}{3} (\frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x - \frac{1}{2}})$

$= \frac{1}{3} {\frac{1}{x + 1} + 2 \cdot \frac{1}{(- 2 x + 1)}}$

$= \frac{1}{3} {(1 - x + x^{2} - x^{3} + x^{4} + \cdot \cdot \cdot) + 2 (1 + 2 x + 4 x^{2} + 8 x^{3} + 16 x^{4} + \cdot \cdot \cdot)}$

$= \frac{1}{3} (3 + 3 x + 9 x^{2} + 15 x^{3} + 33 x^{4} + \cdot \cdot \cdot)$

$= 1 + x + 3 x^{2} + 5 x^{3} + 11 x^{4} + \cdot \cdot \cdot$

学生スタッフ作成
最終更新日： 2022年6月5日