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マクローリン展開

 無限回微分可能な関数 f( x ) について,

f( x ) =f( 0 )+ f ( 0 )x+ f ( 0 ) 2! x 2 ++ f ( n ) ( 0 ) n! x n + = n=0 f ( n ) ( 0 ) n! x n

f( x ) のマクローリン展開という .これはテイラー展開において, a=0 としたものである.

■主な関数のマクローリン展開

  1. 1 1x =1+x+ x 2 + x 3 + x 4 ++ x n + 導出 (収束範囲: 1<x<1

  2. e x =1+x+ 1 2! x 2 + 1 3! x 3 + 1 4! x 4 ++ 1 n! x n + 導出 (収束範囲: <x<

  3. sinx=x 1 3! x 3 + 1 5! x 5 1 7! x 7 ++ ( 1 ) n 1 ( 2n+1 )! x 2n+1 + 導出(収束範囲: <x<

  4. cosx=1 1 2! x 2 + 1 4! x 4 1 6! x 6 ++ ( 1 ) n 1 ( 2n )! x 2n + 導出(収束範囲: <x<

  5. log( 1+x )=x 1 2 x 2 + 1 3 x 3 1 4 x 4 ++ ( 1 ) n1 ( n1 )! n! x n + 導出 (収束範囲: 1<x1

  6. α を実数としたとき,

    ( 1+x ) α =1+αx+ α( α1 ) 2! x 2 + α( α1 )( α2 ) 3! x 3 + 導出(収束半径: 1<x<1

 

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初版:2004年12月7日,最終更新日: 2011年4月21日

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