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応用分野: マクローリン展開

log( 1+x ) のマクローリン展開

log( 1+x )=x 1 2 x 2 + 1 3 x 3 1 4 x 4 +  

■導出 

f( x )=log( 1+x ) とおく.      f( 0 )=log1=0  
f ' ( x )= 1 1+x ( 1+x ) ' = 1 1+x 1 = ( 1+x ) 1     f ' ( 0 )=1  
f '' ( x )=( 1 ) ( 1+x ) 2 ( 1+x ) ' =( 1 ) ( 1+x ) 2 1 = ( 1+x ) 2     f '' ( 0 )=1  
f ''' ( x )=( 2 )( 1 ) ( 1+x ) 3 ( 1+x ) ' =2! ( 1+x ) 3     f ''' ( 0 )=2!  
f ( 4 ) ( x )=( 3 )( 2! ) ( 1+x ) 4 ( 1+x ) ' =3! ( 1+x ) 4     f ( 4 ) ( 0 )=3!  
f ( 5 ) ( x )=( 4 )( 3! ) ( 1+x ) 5 ( 1+x ) ' =4! ( 1+x ) 5     f ( 5 ) ( 0 )=4!  

したがって,マクローリン展開の公式

f( x )=f( 0 )+ f ' ( 0 )x+ f '' ( 0 ) 2! x 2 + f ''' ( 0 ) 3! x 3 ++ f ( n ) ( 0 ) n! x n +  

に代入して 

log( 1+x )=0+1x+ ( 1 ) 2! x 2 + 2! 3! x 3 + 3! 4! x 4 +   =x 1 2 x 2 + 1 3 x 3 - 1 4 x 4 +  

■収束半径 

a n = ( 1 ) n1 ( n1 )! n! , a n+1 = ( 1 ) n n! ( n+1 )!

lim n | a n + 1 a n | = lim n | ( 1 ) n n ! ( n + 1 ) ! ( 1 ) n 1 ( n 1 ) ! n ! | = lim n | ( 1 ) n ( 1 ) n 1 n ! ( n + 1 ) ! n ! ( n 1 ) ! |  
  = lim n | n n + 1 | = lim n | 1 1 + 1 n | = 1  
 

よって,収束半径 R

R= 1 1 =1

となる.

x の値が収束半径と等しいとき, 

x 1 2 x 2 + 1 3 x 3 1 4 x 4 +  

の収束性について検討する. 

x=1 のとき

1 1 1 2 + 1 3 1 4 + 1 5 1 6 + =( 1 1 1 2 )+( 1 3 1 4 )+( 1 5 1 6 )+ = 21 12 + 43 34 + 65 56 + = 1 12 + 1 34 + 1 56 + = lim n k=1 n 1 ( 2k1 )2k < lim n k=1 n 1 ( 2k1 ) 2 ( 1 ( 2k1 )2k < 1 ( 2k1 ) 2 ) <1+ lim n 1 n 1 ( 2x1 ) 2 dx =1+ lim n [ 1 2x1 ] 1 n =1+ lim n ( 1 2n1 +1 ) =2

となり,収束する. 

x = 1 のとき

1 1 1 2 1 3 1 4 = lim n k=1 n ( 1 k ) > lim n 0 n ( 1 x+1 )dx = lim n [ log( x+1 ) ] 0 n = lim n [ log( n+1 )log1 ] = lim n { log( n+1 ) } =

となり,発散する.以上より, 

x 1 2 x 2 + 1 3 x 3 1 4 x 4 +  

が収束する x の範囲は 

1<x1  

となる. 

 

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最終更新日: 2014年11月25日

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