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応用分野: マクローリン展開

( 1+x ) α のマクローリン展開

( 1+x ) α =1+αx+ α( α1 ) 2! x 2 + α( α1 )( α2 ) 3! x 3 +  

■導出 

f( x )= ( 1+x ) α     f( 0 )= 1 α =1  
f ( x )=α ( 1+x ) α1 ( 1+x ) =α ( 1+x ) α1 =α ( 1+x ) α1     f ( 0 )=α  
f ( x )=α( α1 ) ( 1+x ) a2 ( 1+x ) =α( α1 ) ( 1+x ) a2     f ( 0 )=α( α1 )  
f ( x )=α( α1 )( α2 ) ( 1+x ) a3 ( 1+x ) =α( α1 )( α2 ) ( 1+x ) a3     f ( 0 )=α( α1 )( α2 )  
f ( 4 ) ( x )=α( α1 )( α2 )( α3 ) ( 1+x ) a4 ( 1+x ) =α( α1 )( α2 )( α3 ) ( 1+x ) a4     f ( 4 ) ( 0 )=α( α1 )( α2 )( α3 )  
f ( 5 ) ( x )=α( α1 )( α2 )( α3 )( α4 ) ( 1+x ) a5 ( 1+x ) =α( α1 )( α2 )( α3 )( α4 ) ( 1+x ) a5     f ( 5 ) ( 0 )=α( α1 )( α2 )( α3 )( α4 )  

したがって,マクローリン展開の公式 

f( x )=f( 0 )+ f ' ( 0 )x+ f '' ( 0 ) 2! x 2 + f ''' ( 0 ) 3! x 3 ++ f ( n ) ( 0 ) n! x n +  

に代入して

( 1+x ) α =1+αx+ α( α1 ) 2! x 2 + α( α1 )( α2 ) 3! x 3 +

■収束半径 

a n = α( α1 )( α2 )( αn+1 ) n! , a n+1 = α( α1 )( α2 )( αn ) ( n+1 )!

lim n | a n + 1 a n | = lim n | α ( α 1 ) ( α 2 ) ( α n ) ( n + 1 ) ! α ( α 1 ) ( α 2 ) ( α n + 1 ) n ! | = lim n | n ! ( n + 1 ) ! α ( α 1 ) ( α 2 ) ( α n ) α ( α 1 ) ( α 2 ) ( α n + 1 ) |  
  = lim n | α n n + 1 | = lim n | α n 1 1 + 1 n | = 1  
 

よって,収束半径 R

R= 1 1 =1

となる.

 

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初版:2009年9月2日,最終更新日: 2014年9月9日

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