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応用分野: マクローリン展開

e x のマクローリン展開

e x =1+x+ 1 2! x 2 + 1 3! x 3 + 1 4! x 4 +  

■導出 

f( x )= e x とおく.  

    f( 0 )= e 0 =1  
f ' ( x )= e x ( x ) ' = e x     f ' ( 0 )= e 0 =1  
f( x )= e x     f ' ( 0 )= e 0 =1  
f( x )= e x     f ' ( 0 )= e 0 =1  
f( x )= e x     f ' ( 0 )= e 0 =1  
f( x )= e x     f ' ( 0 )= e 0 =1  

したがって,マクローリン展開の公式 

f( x )=f( 0 )+ f ' ( 0 )x+ f '' ( 0 ) 2! x 2 + f ''' ( 0 ) 3! x 3 ++ f ( n ) ( 0 ) n! x n +

に代入して

e x =1+1x+ 1 2! x 2 + 1 3! x 3 + 1 4! x 4 +    =1+x+ 1 2! x 2 + 1 3! x 3 + 1 4! x 4 +  

■収束半径 

a n = 1 n! , a n+1 = 1 ( n+1 )!

lim n | a n+1 a n |= lim n | 1 ( n+1 )! 1 n! |= lim n | n! ( n+1 )! |= lim n | 1 n+1 |=0

よって,収束半径 R ( R= 1 α ) α0 より R

R=

となる.

 

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最終更新日: 2014年9月9日

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