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応用分野: マクローリン展開

1 1x のマクローリン展開

1 1x =1+x+ x 2 + x 3 + x 4 +  

■導出 

f( x )= 1 1x = ( 1x ) 1 とおく.   f( 0 )= 1 1 =1

f ' ( x )=( 1 ) ( 1x ) 2 ( 1x ) ' =( 1 ) ( 1x ) 2 ( 1 ) =1 ( 1x ) 2      f ' ( 0 )=1

f '' ( x )=( 2 )1 ( 1x ) 3 ( 1x ) ' =21 ( 1x ) 3 =( 2! ) ( 1x ) 3    f '' ( 0 )=2!

f ''' ( x )=( 3 )( 2! ) ( 1x ) 4 ( 1x ) ' =( 3! ) ( 1+x ) 4    f ''' ( 0 )=3!

f ( 4 ) ( x )=( 4 )( 3! ) ( 1x ) 5 ( 1x ) ' =( 4! ) ( 1+x ) 5    f ( 4 ) ( 0 )=4!

f ( 5 ) ( x )=( 5 )( 4! ) ( 1x ) 6 ( 1x ) ' =( 5! ) ( 1x ) 6    f ( 5 ) ( 0 )=5!

したがって,マクローリン展開の公式 

f( x )=f( 0 )+ f ' ( 0 )x+ f '' ( 0 ) 2! x 2 + f ''' ( 0 ) 3! x 3 + + f ( n ) ( 0 ) n! x n +  

に代入して

1 1x =1+1x+ 2! 2! x 2 + 3! 3! x 3 + 4! 4! x 3 +

=1+x+ x 2 + x 3 + x 4 +

■収束半径 

a n =1 , a n+1 =1

lim n | a n+1 a n |= lim n | 1 1 |=1

よって,収束半径 R

R= 1 1 =1

となる.

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最終更新日: 2022年6月6日

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