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応用分野: マクローリン展開

cosx のマクローリン展開

cosx=1 1 2! x 2 + 1 4! x 4 1 6! x 6 +

■導出 

f( x )=cosx とおく.   f( 0 )=cos0=1

f ' ( x )=sinx    f ' ( 0 )=sin0=0

f '' ( x )=cosx    f '' ( 0 )=cos0=1

f ''' ( x )=sinx    f ''' ( 0 )=sin0=0

f ( 4 ) ( x )=cosx    f ( 4 ) ( 0 )=cos0=1

f ( 5 ) ( x )=sinx    f ( 5 ) ( 0 )=sin0=0

である(以下,これの繰り返し).すなわち, m=0,1,2 に対して  

f ( n ) ( 0 )={ 0( n=2m+1 ) 1( n=4m ) 1( n=4m+2 )  

したがって,マクローリン展開の公式 

f( x )=f( 0 )+ f ' ( 0 )x+ f '' ( 0 ) 2! x 2 + f ''' ( 0 ) 3! x 3 + + f ( n ) ( 0 ) n! x n +  

に代入して

cosx=1+0x+ 1 2! x 2 + 0 3! x 3 + 1 4! x 4 + 0 5! x 5 + 1 6! x 6 +

=1 1 2! x 2 + 1 4! x 4 1 6! x 6 +

■収束半径 

a n = ( 1 ) n ( 2n )! a n+1 = ( 1 ) n+1 ( 2n+1 )!

lim n | a n+1 a n |= lim n | ( 1 ) n+1 ( 2n+1 )! ( 1 ) n ( 2n )! | = lim n | ( 1 ) n+1 ( 1 ) n ( 2n )! ( 2n+1 )! | = lim n | 1 ( 2n+1 ) |=0

よって,収束半径 R ( R= 1 α ) α0 より R

R=

となる.

 

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最終更新日: 2022年6月6日

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