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応用分野: マクローリン展開

sinx のマクローリン展開

sinx=x 1 3! x 3 + 1 5! x 5 1 7! x 7 +  

■導出 

f( x )=sinx とおく. 

    f( 0 )=sin0=0  
f ' ( x )=cosx     f ' ( 0 )=cos0=1  
f '' ( x )=sinx     f '' ( 0 )=sin0=0  
f ''' ( x )=cosx     f ''' ( 0 )=cos0=1  
f ( 4 ) ( x )=sinx     f ( 4 ) ( 0 )=sin0=0  
f ( 5 ) ( x )=cosx     f ( 5 ) ( 0 )=cos0=1  

である(以下,これの繰り返し).すなわち, m=0,1,2 に対して  

f ( n ) ( 0 )={ 0 ( n=2m ) 1 ( n=4m+1 ) 1 ( n=4m+3 )  

したがって,マクローリン展開の公式 

f( x )=f( 0 )+ f ' ( 0 )x+ f '' ( 0 ) 2! x 2 + f ''' ( 0 ) 3! x 3 ++ f ( n ) ( 0 ) n! x n +  

に代入して

sinx=0+1x+ 0 2! x 2 + ( 1 ) 3! x 3 + 0 4! x 4 + 1 5! x 5 + 0 6! x 6 + ( 1 ) 7! x 7 + =x 1 3! x 3 + 1 5! x 5 1 7! x 7 +  

■収束半径 

a n = ( 1 ) n ( 2n+1 )! , a n+1 = ( 1 ) n+1 ( 2n+3 )!

lim n | a n+1 a n |= lim n | ( 1 ) n+1 ( 2n+3 )! ( 1 ) n ( 2n+1 )! |= lim n | ( 1 ) n+1 ( 1 ) n ( 2n+1 )! ( 2n+3 )! |= lim n | 1 ( 2n+2 )( 2n+3 ) |=0

よって,収束半径 R ( R= 1 α ) α0 より R

R=

となる.

 

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最終更新日: 2014年9月9日

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