問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

べき級数に展開する問題

■問題

次の関数をべき級数展開（マクローリン展開）をせよ．

${\displaystyle \frac{1}{2+x}}$

■答

${\displaystyle f\left(x\right)=\frac{1}{2+x}={\left(2+x\right)}^{-1}}$   とおく．       ${\displaystyle f\left(0\right)=2^{-1}=\frac{1}{2}}$  

${\displaystyle \begin{array}{l}{f}^{\prime }\left(x\right)=\left(-1\right){\left(2+x\right)}^{-2}{\left(2+x\right)}^{\prime }\\ =\left(-1\right){\left(2+x\right)}^{-2}\cdot 1\\ =\left(-1\right){\left(2+x\right)}^{-2}\end{array}}$    ${\displaystyle f^{\text{'}}\left(0\right)=\left(-1\right)\cdot 2^{-2}}$  

${\displaystyle \begin{array}{l}{f}^{″}\left(x\right)=\left(-1\right)\left(-2\right){\left(2+x\right)}^{-3}{\left(2+x\right)}^{\prime }\\ =\left(2!\right){\left(2+x\right)}^{-3}\end{array}}$    ${\displaystyle f^{\text{'}\text{'}}\left(0\right)=\left(2!\right)\cdot 2^{-3}}$  

${\displaystyle \begin{array}{l}{f}^{‴}\left(x\right)=\left(2!\right)\left(-3\right){\left(2+x\right)}^{-4}{\left(2+x\right)}^{\prime }\\ =\left(-3!\right){\left(2+x\right)}^{-4}\end{array}}$     ${\displaystyle f^{\text{'}\text{'}\text{'}}\left(0\right)=\left(-3!\right)\cdot 2^{-4}}$  

${\displaystyle \begin{array}{l}{f}^{\left(4\right)}\left(x\right)=\left(-3!\right)\left(-4\right){\left(2+x\right)}^{-5}{\left(2+x\right)}^{\prime }\\ =\left(4!\right){\left(2+x\right)}^{-5}\end{array}}$     ${\displaystyle f^{\left(4\right)}\left(0\right)=\left(4!\right)\cdot 2^{-5}}$  

${\displaystyle \begin{array}{l}{f}^{\left(5\right)}\left(x\right)=\left(4!\right)\left(-5\right){\left(2+x\right)}^{-6}{\left(2+x\right)}^{\prime }\\ =\left(-5!\right){\left(2+x\right)}^{-6}\end{array}}$     ${\displaystyle f^{\left(5\right)}\left(0\right)=\left(-5!\right)\cdot 2^{-6}}$  

したがって， マクローリン展開の公式  

に代入して

■別解

${\displaystyle \frac{1}{2+x}=\frac{1}{2\left(1+\frac{1}{2}x\right)}}$

          ${\displaystyle =\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{1+\frac{1}{2}x}}$

ここで

の式の ${\displaystyle x}$ を ${\displaystyle \frac{1}{2}x}$ に置き換える

 

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2022年6月5日

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