逆三角関数の問題

■問題

${\displaystyle \sin \left({\tan }^{-1}\frac{3}{4}\right)}$ の値を求めよ

■答

${\displaystyle \frac{3}{5}}$

■ヒント

直角三角形からアークタンジェント（逆正接関数）の値を読み取り，${\displaystyle \sin }$ を導き出す．

■解答

${\displaystyle \theta ={tan}^{-1}\frac{3}{4}}$

とおくと

${\displaystyle \tan \theta =\frac{3}{4}}$　･･････(1)

となる．(1)の関係を単位円を使って描くと図のようになる．

${\displaystyle \text{OQ}=1}$，${\displaystyle \text{PQ}=\frac{3}{4}}$

より

${\displaystyle \text{OP}=\sqrt{{\text{OQ}}^2+{\text{PQ}}^2}}$${\displaystyle =\sqrt{{\left(\frac{3}{4}\right)}^2+1^2}}$${\displaystyle =\frac{5}{4}}$

となる．

${\displaystyle \sin \left({\tan }^{-1}\frac{3}{4}\right)}$ ${\displaystyle =sin\theta }$${\displaystyle =\frac{\text{PQ}}{\text{OP}}}$${\displaystyle =\frac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{4}}}$ ${\displaystyle =\frac{3}{5}}$

 

　

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最終更新日： 2023年4月17日