問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

加法定理の問題12

■問題

${\displaystyle x>0^{°},y>0^{°},z>0^{°}}$ ，かつ， ${\displaystyle x+y+z={180}^{°}}$ で

${\displaystyle \{\begin{array}{l}\sin x\sin y=\cos z\\ \sin x+\sin y={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}\sin z+1\end{array}}$

を満たしているとき， ${\displaystyle x}$ ， ${\displaystyle y}$ ， ${\displaystyle z}$ を求めよ．

■解説動画

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■答

■解説

${\displaystyle \sin x\sin y=\cos z}$ ･･････(1)

${\displaystyle \sin x+\sin y=\frac{1}{\sqrt{3}}\sin z+1}$ ･･････(2)

とする．

${\displaystyle x>0^{°},y>0^{°},z>0^{°}}$ で

${\displaystyle x+y+z={180}^{°}}$ ･･････(3)

から， ${\displaystyle x}$ , ${\displaystyle y}$ , ${\displaystyle z}$ の範囲は， ${\displaystyle 0^{°}<x<{180}^{°}}$ ， ${\displaystyle 0^{°}<y<{180}^{°}}$ ， ${\displaystyle 0^{°}<z<{180}^{°}}$ となり，(3)から

${\displaystyle z={180}^{°}-\left(x+y\right)}$ ･･････(4)

(4)より

${\displaystyle cosz}$ ${\displaystyle =cos\left({180}^{°}-x-y\right)}$

${\displaystyle =-cos\left(x+y\right)}$　∵三角関数計算の基礎

${\displaystyle =-\left(cosxcosy-sinxsiny\right)}$　∵加法定理

${\displaystyle =-cosxcosy+sinxsiny}$ ･･････(5)

(1)に（5を代入する．

${\displaystyle -cosxcosy=0}$

${\displaystyle cosxcosy=0}$ ･･････(6)

(2)に(4)を代入する．

(6)より

${\displaystyle cosx=0}$ ，または， ${\displaystyle cosy=0}$

である．

● ${\displaystyle cosx=0}$ のとき

${\displaystyle 0^{°}<x<{180}^{°}}$ より

${\displaystyle x={90}^{°}}$ ･･････(8)

(8)を(7)に代入すると

${\displaystyle \sin y=\frac{1}{\sqrt{3}}\cos y}$

${\displaystyle \tan y=\frac{1}{\sqrt{3}}}$

${\displaystyle 0^{°}<y<{180}^{°}}$ より

${\displaystyle y={30}^{°}}$

(3)より

${\displaystyle z={60}^{°}}$

● ${\displaystyle \cos y=0}$ のとき

${\displaystyle x}$ と ${\displaystyle y}$ を入れ替えても問題は同等であるので， ${\displaystyle \cos x=0}$ のときの ${\displaystyle x}$ と ${\displaystyle y}$ を入れ替えるとよい．

${\displaystyle x={30}^{°},y={90}^{°},z={60}^{°}}$

となる．

よって(1)，(2)を満たしている値は

となる．

　

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最終更新日： 2025年4月18日

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