問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

三角関数の方程式に関する問題

■問 題

次の方程式を解け．ただし， ${\displaystyle 0\leqq \theta <2\pi }$ とする．

${\displaystyle sin\theta =\frac{1}{\sqrt{2}}}$

■答

${\displaystyle \frac{1}{4}\pi ,\frac{3}{4}\pi }$

■ヒント

$\sin \theta =c$ の解き方

■解説

単位円においての値は ${\displaystyle y}$ 座標に相当する(ここを参照)．

まず，右図のように単位円を描く．このとき，原点を ${\displaystyle \text{O}}$ とする．

${\displaystyle \sin \theta =\frac{1}{\sqrt{2}}}$ より， ${\displaystyle x}$ 軸と平行な直線である ${\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{2}}}$ を描く．

描いた直線と単位円との交点を ${\displaystyle \text{P}}$ ， ${\displaystyle \text{Q}}$ とし，原点 ${\displaystyle \text{O}}$ と直線で結ぶ．

${\displaystyle \text{P}}$ ， ${\displaystyle \text{Q}}$ から ${\displaystyle x}$ 軸に垂線を下ろし，それぞれの足を ${\displaystyle \text{R}}$ ， ${\displaystyle \text{S}}$ とし，直角三角形 ${\displaystyle \text{OPR}}$ ，三角形 ${\displaystyle \text{OQS}}$ の内角を求める．

直角三角形 ${\displaystyle \text{OPR}}$ において， ${\displaystyle \text{OP}=1}$ ， ${\displaystyle \text{PR}=\frac{1}{\sqrt{2}}}$ より， 基本的な三角形 と照らし合わせると

${\displaystyle \angle \text{POR}={\theta }_1=\frac{1}{4}\pi }$

となる．

直角三角形 ${\displaystyle \text{OPR}}$ ${\displaystyle \equiv }$ 直角三角形 ${\displaystyle \text{OQS}}$

より

${\displaystyle \angle \text{QOS=}\angle \text{POR=}\frac{1}{4}\pi }$

よって， ${\displaystyle {\theta }_1}$ を算出すと

${\displaystyle {\theta }_2=\pi -\frac{1}{4}\pi =\frac{3}{4}\pi }$

となる．

　

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学生スタッフ作成

最終更新日： 2025年2月12日

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