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三角関数の最大値・最小値問題

■問題

次の関数の最大値と最小値を求めよ．ただし，${\displaystyle 0\leqq \theta \le \frac{7\pi }{6}}$ とする

${\displaystyle y={\cos }^2\theta +\sin \theta }$

■答

最大値： ${\displaystyle \frac{5}{4}}$ ，最小値： ${\displaystyle \frac{1}{4}}$

■ヒント

三角関数を${\displaystyle \sin \theta }$ に統一する．

■解き方

${\displaystyle {\cos }^2\theta +\sin \theta }$ を ${\displaystyle \sin \theta }$ だけを用いて表す． ${\displaystyle {\cos }^2\theta =1-{\sin }^2\theta }$ より

${\displaystyle y={\cos }^2\theta +\sin \theta }$

${\displaystyle =1-{\sin }^2\theta +\sin \theta }$

${\displaystyle =-{\sin }^2\theta +\sin \theta +1}$

${\displaystyle \sin \theta }$ の2次式になっているので， ${\displaystyle \sin \theta =t}$ とおく． ${\displaystyle 0\leqq \theta \le \frac{7\pi }{6}}$ より， ${\displaystyle -\frac{1}{2}\leqq t\le 1}$   (単位円の図を参照 )

${\displaystyle =-t^2+t+1}$

${\displaystyle t}$ について平方完成すると

${\displaystyle =-{\left(t-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{5}{4}}$

グラフは以下のようになる．

グラフより， ${\displaystyle -\frac{1}{2}\leqq t\leqq 1}$ の範囲において(ここを参考にするよよい)

${\displaystyle y}$ の最大値は， ${\displaystyle t=\frac{1}{2}}$ のとき， ${\displaystyle \frac{5}{4}}$

${\displaystyle y}$ の最小値は， ${\displaystyle t=-\frac{1}{2}}$ のとき， ${\displaystyle -{\left(-\frac{1}{2}\right)}^2-\frac{1}{2}+1}$ ${\displaystyle =\frac{1}{4}}$

となる．

${\displaystyle t=\frac{1}{2}}$ のとき，すなわち， ${\displaystyle \sin \theta =\frac{1}{2}}$ のとき， ${\displaystyle \theta =\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6}}$

${\displaystyle t=-\frac{1}{2}}$ のとき，すなわち， ${\displaystyle \sin \theta =-\frac{1}{2}}$ のとき， ${\displaystyle \theta =\frac{7\pi }{6}}$

以上をまとめると

最大値は， ${\displaystyle \theta =\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6}}$ のとき， ${\displaystyle \frac{5}{4}}$

最小値は， ${\displaystyle \theta =\frac{7\pi }{6}}$ のとき， ${\displaystyle \frac{1}{4}}$

となる．

●別解

増減表を用いる場合

${\displaystyle y^{\prime }=2\cos \theta \left(-\sin \theta \right)+\cos \theta }$${\displaystyle =\cos \theta \left(1-2\sin \theta \right)}$

$y^{\prime }=0$ となるのは，${\displaystyle \cos \theta =0}$，${\displaystyle \sin \theta =\frac{1}{2}}$のときである．${\displaystyle 0\leqq \theta \le \frac{7\pi }{6}}$の範囲で考えると，${\displaystyle \theta =\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{2},\frac{5\pi }{6}}$ となる．

${\displaystyle \theta =\frac{\pi }{6}}$ のとき，${\displaystyle y={\cos }^2\frac{\pi }{6}+\sin \frac{\pi }{6}}$${\displaystyle ={\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2+\frac{1}{2}}$${\displaystyle =\frac{5}{4}}$

${\displaystyle \theta =\frac{\pi }{2}}$のとき，${\displaystyle y={\cos }^2\frac{\pi }{2}+\sin \frac{\pi }{2}}$${\displaystyle =0+1=1}$

${\displaystyle \theta =\frac{5\pi }{6}}$ のとき，${\displaystyle y={\cos }^2\frac{5\pi }{6}+\sin \frac{5\pi }{6}}$${\displaystyle ={\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2+\frac{1}{2}}$${\displaystyle =\frac{5}{4}}$

${\displaystyle \theta =0}$ のとき，${\displaystyle y={\cos }^{2}0+\sin 0}$${\displaystyle =1^2+0=1}$，${\displaystyle y^{\prime }=\cos 0\left(1-2\sin 0\right)}$${\displaystyle =1}$

${\displaystyle \theta =\frac{7\pi }{6}}$のとき，${\displaystyle y={\cos }^2\frac{7\pi }{6}+\sin \frac{7\pi }{6}}$ ${\displaystyle ={\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2-\frac{1}{2}}$ ${\displaystyle =\frac{1}{4}}$，

${\displaystyle y^{\prime }=\cos \frac{7\pi }{6}\left(1-2\sin \frac{7\pi }{6}\right)}$${\displaystyle =-\frac{\sqrt{3}}{2}\left\{1-2\left(-\frac{1}{2}\right)\right\}}$${\displaystyle =-\sqrt{3}}$

以上よりぞ現表を作成する．

増減表より

最大値は， ${\displaystyle \theta =\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6}}$ のとき， ${\displaystyle \frac{5}{4}}$

最小値は， ${\displaystyle \theta =\frac{7\pi }{6}}$ のとき， ${\displaystyle \frac{1}{4}}$

となる．

 

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最終更新日： 2026年10月21日

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