加法定理の問題
■問題
cosα=35
,
sinβ=513
のとき
cos(α+β)
,
tan(α+β)
の値を求めよ.ただし,
0<α,β<π2
とする.
■解説動画
■答
cos(α+β)=1665
,
tan(α+β)=6316
■ヒント
cosα
の値よりに
sinα
の値を,
sinβ
の値より
cosβ
の値を算出する.また,加法定理を利用する.
■解き方
0<α,β<π2
のとき,
sinα>0
,
cosβ>0
であるから
cosα=35
より
sinα=√1−cos2α
=√1−(35)2
=45
・・・・・・(1) ,
tanα=sinαcosα=43
・・・・・・(2)
sinβ=513
より
cosβ=√1−cos2α
=√1−(513)2
=1213
・・・・・・(3) ,
tanβ=sinβcosβ=512
・・・・・・(4)
余弦(コサイン)
の加法定理を利用し,(1)と(3)を代入すると
cos(α+β)
=cosαcosβ−sinαsinβ
=35×1213−45×513
=3665−2065
=1665
正接(タンジェント)
の加法定理を利用し,(2)と(4)を代入すると
tan(α+β)
=tanα+tanβ1−tanαtanβ
=43+5121−43×512
=211249
=6316
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最終更新日:
2025年3月2日