加法定理の問題

■問題

$cos α = \frac{3}{5}$ $cos α = \frac{3}{5}$ ， $sin β = \frac{5}{13}$ $sin β = \frac{5}{13}$ のとき

$cos (α + β)$ $cos (α + β)$ ， $tan (α + β)$ $tan (α + β)$ の値を求めよ．ただし， $0 < α, β < \frac{π}{2}$ $0 < α, β < \frac{π}{2}$ とする．

■解説動画

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■答

$cos (α + β) = \frac{16}{65}$ $cos (α + β) = \frac{16}{65}$ ， $tan (α + β) = \frac{63}{16}$ $tan (α + β) = \frac{63}{16}$

■ヒント

$cos α$ $\cos α$ の値よりに $sin α$ $\sin α$ の値を， $sin β$ $\sin β$ の値より $cos β$ $\cos β$ の値を算出する．また，加法定理を利用する．

■解き方

$0 < α, β < \frac{π}{2}$ $0 < α, β < \frac{π}{2}$ のとき， $sin α > 0$ $sin α > 0$ ， $cos β > 0$ $cos β > 0$ であるから

$cos α = \frac{3}{5}$ $cos α = \frac{3}{5}$ より

$sin α = \sqrt{1 - {cos}^{2} α}$ $sin α = \sqrt{1 - {cos}^{2} α}$ $= \sqrt{1 - {(\frac{3}{5})}^{2}}$ $= \sqrt{1 - {(\frac{3}{5})}^{2}}$ $= \frac{4}{5}$ $= \frac{4}{5}$ ･･････(1) 　， $tan α = \frac{sin α}{cos α} = \frac{4}{3}$ $tan α = \frac{sin α}{cos α} = \frac{4}{3}$ ･･････(2)

$sin β = \frac{5}{13}$ $sin β = \frac{5}{13}$ より

$cos β = \sqrt{1 - {cos}^{2} α}$ $cos β = \sqrt{1 - {cos}^{2} α}$ $= \sqrt{1 - {(\frac{5}{13})}^{2}}$ $= \sqrt{1 - {(\frac{5}{13})}^{2}}$ $= \frac{12}{13}$ $= \frac{12}{13}$ ･･････(3)　， $tan β = \frac{sin β}{cos β} = \frac{5}{12}$ $tan β = \frac{sin β}{cos β} = \frac{5}{12}$ ･･････(4)

余弦（コサイン）の加法定理を利用し，(1)と(3)を代入すると

$cos (α + β)$ $cos (α + β)$ $= cos α cos β - sin α sin β$ $= cos α cos β - sin α sin β$

$= \frac{3}{5} \times \frac{12}{13} - \frac{4}{5} \times \frac{5}{13}$ $= \frac{3}{5} \times \frac{12}{13} - \frac{4}{5} \times \frac{5}{13}$

$= \frac{36}{65} - \frac{20}{65}$ $= \frac{36}{65} - \frac{20}{65}$

$= \frac{16}{65}$ $= \frac{16}{65}$

正接（タンジェント）の加法定理を利用し，(2)と(4)を代入すると

$tan (α + β)$ $\tan (α + β)$

$= \frac{tan α + tan β}{1 - tan α tan β}$ $= \frac{\tan α + \tan β}{1 - \tan α \tan β}$

$= \frac{\frac{4}{3} + \frac{5}{12}}{1 - \frac{4}{3} \times \frac{5}{12}}$ $= \frac{\frac{4}{3} + \frac{5}{12}}{1 - \frac{4}{3} \times \frac{5}{12}}$

$= \frac{\frac{21}{12}}{\frac{4}{9}}$ $= \frac{\frac{21}{12}}{\frac{4}{9}}$

$= \frac{63}{16}$ $= \frac{63}{16}$

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最終更新日： 2025年3月2日