問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください.

加法定理の問題

■問題

cosα=35sinβ=513 のとき

cos(α+β)tan(α+β) の値を求めよ.ただし, 0<α,β<π2 とする.

■解説動画

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■答

cos(α+β)=1665tan(α+β)=6316

■ヒント

cosα の値よりに sinα の値を, sinβ の値より cosβ の値を算出する.また,加法定理を利用する.

■解き方

0<α,β<π2 のとき, sinα>0cosβ>0 であるから

cosα=35 より

sinα=1cos2α =1(35)2 =45 ・・・・・・(1)  , tanα=sinαcosα=43 ・・・・・・(2)

sinβ=513 より

cosβ=1cos2α =1(513)2 =1213 ・・・・・・(3) , tanβ=sinβcosβ=512 ・・・・・・(4)

余弦(コサイン) の加法定理を利用し,(1)と(3)を代入すると

cos(α+β) =cosαcosβsinαsinβ

=35×121345×513

=36652065

=1665

正接(タンジェント) の加法定理を利用し,(2)と(4)を代入すると

tan(α+β)

=tanα+tanβ1tanαtanβ

=43+512143×512

=211249

=6316

 

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学生スタッフ作成

最終更新日: 2025年3月2日

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