加法定理の問題

■問題

$sin α - cos β = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $\cos α - \sin β = \sqrt{2}$ であるとき $\sin (α + β)$ の値を求めよ．

$\sin (α + β) = - \frac{3}{8}$

$sin α - cos β = \frac{\sqrt{3}}{2}$ と $cos α - sin β = \sqrt{2}$ の両辺を平方して加え式を変形する．

式を変形するとき，加法定理を用いる．

$sin α - cos β = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $cos α - sin β = \sqrt{2}$ から

それぞれの式の両辺をを平方して加えると

${sin}^{2} α - 2 sin α cos β + {cos}^{2} β$ $+ {cos}^{2} α - 2 cos α sin β + {sin}^{2} β$ $= \frac{3}{4} + 2$

$({sin}^{2} α + {cos}^{2} α) + ({sin}^{2} β + {cos}^{2} β)$ $- 2 (sin α cos β + cos α sin β) = \frac{11}{4}$

${sin}^{2} θ + {cos}^{2} θ = 1$ ， $sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β$ より

$2 - 2 sin (α + β) = \frac{11}{4}$

$- 2 sin (α + β) = \frac{3}{4}$

$sin (α + β) = - \frac{3}{8}$

学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年3月15日