問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

加法定理の問題

■問題

${\displaystyle 0^{°}<\alpha <{180}^{°}}$ ,${\displaystyle \cos \alpha =\frac{12}{13}}$ のとき　${\displaystyle 2\alpha }$ ，${\displaystyle \frac{\alpha }{2}}$ の正弦，余弦，正接の値を求めよ．

■答

${\displaystyle sin2\alpha =\frac{120}{169}}$，${\displaystyle cos2\alpha =\frac{119}{169}}$，${\displaystyle tan2\alpha =\frac{120}{119}}$

${\displaystyle sin\frac{\alpha }{2}=\frac{\sqrt{26}}{26}}$，${\displaystyle cos\frac{\alpha }{2}=\frac{5\sqrt{26}}{26}}$，${\displaystyle tan\frac{\alpha }{2}=\frac{1}{5}}$

■ヒント

${\displaystyle 2\alpha }$ と${\displaystyle \frac{\alpha }{2}}$ の値の正負の範囲に注意して２倍角の公式と半角の公式に代入する．

■解説

${\displaystyle 0^{°}<\alpha <{180}^{°}}$ より${\displaystyle sin\alpha >0}$である．よって

${\displaystyle \sin \alpha =\sqrt{1-{\cos }^2\alpha }}$ ${\displaystyle =\sqrt{1-{\left(\frac{12}{13}\right)}^2}}$ ${\displaystyle =\sqrt{\frac{25}{169}}}$ ${\displaystyle =\frac{5}{13}}$

${\displaystyle 2\alpha }$ の場合

${\displaystyle \sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha =2\times \frac{5}{13}\times \frac{12}{13}}$ ${\displaystyle =\frac{120}{169}}$

${\displaystyle \cos 2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1=2\times {\left(\frac{12}{13}\right)}^2-1}$ ${\displaystyle =\frac{288}{169}-1}$ ${\displaystyle =\frac{119}{169}}$

${\displaystyle tan2\alpha =\frac{sin2\alpha }{cos2\alpha }=\frac{\frac{120}{169}}{\frac{119}{169}}=\frac{120}{119}}$

${\displaystyle \frac{\alpha }{2}}$の場合

${\displaystyle 0^{°}<\frac{\alpha }{2}<{90}^{°}}$ より${\displaystyle sin\frac{\alpha }{2}>0}$，${\displaystyle \cos \frac{\alpha }{2}>0}$ である．よって

${\displaystyle \sin \frac{\alpha }{2}=\sqrt{\frac{1-\cos \alpha }{2}}=\sqrt{\frac{1-\frac{12}{13}}{2}}}$ ${\displaystyle =\sqrt{\frac{\frac{1}{13}}{2}}}$ ${\displaystyle =\sqrt{\frac{1}{26}}}$ ${\displaystyle =\frac{\sqrt{26}}{26}}$

${\displaystyle \cos \frac{\alpha }{2}=\sqrt{\frac{1+\cos \alpha }{2}}=\sqrt{\frac{1+\frac{12}{13}}{2}}}$ ${\displaystyle =\sqrt{\frac{\frac{25}{13}}{2}}}$ ${\displaystyle =\sqrt{\frac{25}{26}}}$ ${\displaystyle =\frac{5\sqrt{26}}{26}}$

${\displaystyle tan\frac{\alpha }{2}=\frac{sin\frac{\alpha }{2}}{cos\frac{\alpha }{2}}=\frac{\frac{\sqrt{26}}{26}}{\frac{5\sqrt{26}}{26}}=\frac{1}{5}}$

　

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最終更新日： 2023年3月15日

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