加法定理の問題

■問題

${\displaystyle sin\alpha -cos\beta =\frac{\sqrt{3}}{2}}$，${\displaystyle \cos \alpha -\sin \beta =\sqrt{2}}$ であるとき${\displaystyle \sin \left(\alpha +\beta \right)}$ の値を求めよ．

■答

${\displaystyle \sin \left(\alpha +\beta \right)=-\frac{3}{8}}$

■ヒント

${\displaystyle sin\alpha -cos\beta =\frac{\sqrt{3}}{2}}$ と ${\displaystyle cos\alpha -sin\beta =\sqrt{2}}$ の両辺を平方して加え式を変形する．

式を変形するとき，加法定理を用いる．

■解き方

${\displaystyle sin\alpha -cos\beta =\frac{\sqrt{3}}{2}}$，${\displaystyle cos\alpha -sin\beta =\sqrt{2}}$ から

それぞれの式の両辺をを平方して加えると

${\displaystyle {sin}^2\alpha -2sin\alpha cos\beta +{cos}^2\beta }$${\displaystyle +{cos}^2\alpha -2cos\alpha sin\beta +{sin}^2\beta }$${\displaystyle =\frac{3}{4}+2}$

${\displaystyle \left({sin}^2\alpha +{cos}^2\alpha \right)+\left({sin}^2\beta +{cos}^2\beta \right)}$${\displaystyle -2\left(sin\alpha cos\beta +cos\alpha sin\beta \right)=\frac{11}{4}}$

${\displaystyle {sin}^2\theta +{cos}^2\theta =1}$，${\displaystyle sin\left(\alpha +\beta \right)=sin\alpha cos\beta +cos\alpha sin\beta }$ より

${\displaystyle 2-2sin\left(\alpha +\beta \right)=\frac{11}{4}}$

${\displaystyle -2sin\left(\alpha +\beta \right)=\frac{3}{4}}$

${\displaystyle sin\left(\alpha +\beta \right)=-\frac{3}{8}}$

 

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最終更新日： 2026年10月6日