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次の方程式の最大値と最小値を求めよ.ただし,0≦θ≦14πとする.
y=3cos(2θ+13π)
θ=14πのとき最小値 −3√32
θ=0のとき最大値 32
2θ+13πをt と置き換えて計算を行う.
2θ+13π=t ・・・・・・(1)
とおくと,与式は
y=3cost ・・・・・・(2)
となる.
(1)の関係とθ の範囲から,t の範囲を求める.
0≦θ≦14π
0≦2θ≦12π
13π≦2θ+13π≦12π+13π
13π≦t≦56π ・・・・・・(3)
costは単位円上の点の X 成分に相当するので,図よりcostは(3)の範囲において
t=56π のとき最小
t=13π のとき最大
となる.(1)の関係とt の値から対応するθ の値を求めて上記を書き換えると
cos(2θ++13π) は0≦θ≦14πにおいて
2θ+13π=56π ⇒ θ=14πのとき最小
2θ+13π=13π ⇒ θ=0のとき最大
となる.
以上より,y=3cos(2θ+13π) の
最小値はθ=14πのとき
y=3cos(2×14π+13π)=3cos56π=3×(−√32)=−3√32
最大値はθ=0 のとき
y=3cos(2×0+13π)=3cos13π =3×12 =32
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最終更新日:
2023年4月12日