三角関数の最大値・最小値に関する問題

■問題

次の関数の最大値と最小値を求めよ．ただし， ${\displaystyle 0\leqq \theta \leqq \frac{1}{4}\pi }$ とする．

${\displaystyle y=3\cos \left(2\theta +\frac{1}{3}\pi \right)}$

■解説動画

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■答

${\displaystyle \theta =\frac{1}{4}\pi }$ のとき，最小値  ${\displaystyle -\frac{3\sqrt{3}}{2}}$

${\displaystyle \theta =0}$ のとき，最大値  ${\displaystyle \frac{3}{2}}$

■ヒント

${\displaystyle 2\theta +\frac{1}{3}\pi }$ を ${\displaystyle t}$ と置き換えて計算を行う．

■解説

${\displaystyle 2\theta +\frac{1}{3}\pi =t}$ ･･････(1)

とおくと，与式は

${\displaystyle y=3cost}$ ･･････(2)

となる．

(1)の関係と ${\displaystyle \theta }$ の範囲から， ${\displaystyle t}$ の範囲を求める．

${\displaystyle 0\leqq \theta \leqq \frac{1}{4}\pi }$

${\displaystyle 0\leqq 2\theta \leqq \frac{1}{2}\pi }$

${\displaystyle \frac{1}{3}\pi \leqq 2\theta +\frac{1}{3}\pi \leqq \frac{1}{2}\pi +\frac{1}{3}\pi }$

${\displaystyle \frac{1}{3}\pi \leqq t\leqq \frac{5}{6}\pi }$ ･･････(3)

${\displaystyle cost}$ は単位円上の点の ${\displaystyle X}$ 成分に相当するので，図より ${\displaystyle cost}$ は(3)の範囲において

${\displaystyle t=\frac{5}{6}\pi }$  のとき最小

${\displaystyle t=\frac{1}{3}\pi }$   のとき最大

となる．(1)の関係と ${\displaystyle t}$ の値から対応する ${\displaystyle \theta }$ の値を求めて上記を書き換えると

${\displaystyle \cos \left(2\theta ++\frac{1}{3}\pi \right)}$ は ${\displaystyle 0\leqq \theta \leqq \frac{1}{4}\pi }$ において

${\displaystyle 2\theta +\frac{1}{3}\pi =\frac{5}{6}\pi }$  ⇒  ${\displaystyle \theta =\frac{1}{4}\pi }$ のとき最小

${\displaystyle 2\theta +\frac{1}{3}\pi =\frac{1}{3}\pi }$  ⇒  ${\displaystyle \theta =0}$ のとき最大

となる．

以上より， ${\displaystyle y=3\cos \left(2\theta +\frac{1}{3}\pi \right)}$ の

最小値は， ${\displaystyle \theta =\frac{1}{4}\pi }$ のとき

${\displaystyle y=3\cos \left(2\times \frac{1}{4}\pi +\frac{1}{3}\pi \right)}$ ${\displaystyle =3\cos \frac{5}{6}\pi }$ ${\displaystyle =3\times \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}$ ${\displaystyle =-\frac{3\sqrt{3}}{2}}$

最大値は， ${\displaystyle \theta =0}$ のとき

${\displaystyle y=3\cos \left(2\times 0+\frac{1}{3}\pi \right)}$ ${\displaystyle =3\cos \frac{1}{3}\pi }$ ${\displaystyle =3\times \frac{1}{2}}$ ${\displaystyle =\frac{3}{2}}$

●グラフを用いた解法

${\displaystyle y=3\cos \left(2\theta +\frac{1}{3}\pi \right)}$ のグラフを以下に示す．

◇グラフの描き方は，このページを参考にする

グラフより， ${\displaystyle y=3\cos \left(2\theta +\frac{1}{3}\pi \right)}$ の

最小値は， ${\displaystyle \theta =\frac{1}{4}\pi }$ のとき

${\displaystyle 3\cos \left(2\cdot \frac{1}{4}\pi +\frac{1}{3}\pi \right)}$ ${\displaystyle =3\cos \frac{5}{6}\pi }$ ${\displaystyle =3\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}$ ${\displaystyle =-\frac{3\sqrt{3}}{2}}$

最大値は， ${\displaystyle \theta =0}$ のとき

${\displaystyle 3\cos \left(0+\frac{1}{3}\pi \right)=3\cos \frac{1}{3}\pi }$${\displaystyle =3\cdot \frac{1}{2}}$${\displaystyle =\frac{3}{2}}$

となる．

　

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最終更新日： 2025年4月18日