三角関数の方程式に関する問題

■問題

次の方程式の最大値と最小値を求めよ．ただし，${\displaystyle 0\leqq \theta \leqq \frac{1}{4}\pi }$とする．

${\displaystyle y=3\cos \left(2\theta +\frac{1}{3}\pi \right)}$

■答

${\displaystyle \theta =\frac{1}{4}\pi }$のとき最小値 ${\displaystyle -\frac{3\sqrt{3}}{2}}$

${\displaystyle \theta =0}$のとき最大値 ${\displaystyle \frac{3}{2}}$

■ヒント

${\displaystyle 2\theta +\frac{1}{3}\pi }$を${\displaystyle t}$ と置き換えて計算を行う．

■解説

${\displaystyle 2\theta +\frac{1}{3}\pi =t}$　･･････(1)

とおくと，与式は

${\displaystyle y=3cost}$　･･････(2)

となる．

(1)の関係と${\displaystyle \theta }$ の範囲から，${\displaystyle t}$ の範囲を求める．

${\displaystyle 0\leqq \theta \leqq \frac{1}{4}\pi }$

${\displaystyle 0\leqq 2\theta \leqq \frac{1}{2}\pi }$

${\displaystyle \frac{1}{3}\pi \leqq 2\theta +\frac{1}{3}\pi \leqq \frac{1}{2}\pi +\frac{1}{3}\pi }$

${\displaystyle \frac{1}{3}\pi \leqq t\leqq \frac{5}{6}\pi }$　･･････(3)

${\displaystyle cost}$は単位円上の点の ${\displaystyle X}$ 成分に相当するので，図より${\displaystyle cost}$は(3)の範囲において

${\displaystyle t=\frac{5}{6}\pi }$  のとき最小

${\displaystyle t=\frac{1}{3}\pi }$   のとき最大

となる．(1)の関係と${\displaystyle t}$ の値から対応する${\displaystyle \theta }$ の値を求めて上記を書き換えると

${\displaystyle \cos \left(2\theta ++\frac{1}{3}\pi \right)}$ は${\displaystyle 0\leqq \theta \leqq \frac{1}{4}\pi }$において

${\displaystyle 2\theta +\frac{1}{3}\pi =\frac{5}{6}\pi }$ ⇒ ${\displaystyle \theta =\frac{1}{4}\pi }$のとき最小

${\displaystyle 2\theta +\frac{1}{3}\pi =\frac{1}{3}\pi }$ ⇒ ${\displaystyle \theta =0}$のとき最大

となる．

以上より，${\displaystyle y=3\cos \left(2\theta +\frac{1}{3}\pi \right)}$ の

最小値は${\displaystyle \theta =\frac{1}{4}\pi }$のとき

${\displaystyle y=3\cos \left(2\times \frac{1}{4}\pi +\frac{1}{3}\pi \right)}$${\displaystyle =3\cos \frac{5}{6}\pi }$${\displaystyle =3\times \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}$${\displaystyle =-\frac{3\sqrt{3}}{2}}$

最大値は${\displaystyle \theta =0}$ のとき

${\displaystyle y=3\cos \left(2\times 0+\frac{1}{3}\pi \right)}$${\displaystyle =3\cos \frac{1}{3}\pi }$ ${\displaystyle =3\times \frac{1}{2}}$ ${\displaystyle =\frac{3}{2}}$

　

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最終更新日： 2023年4月12日