問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

積分を用いて面積を求める問題

■問題

曲線${\displaystyle y=x^2-2x-3}$と${\displaystyle x}$軸で囲まれた面積を求めよ．

■答

${\displaystyle \frac{32}{3}}$

■解説

${\displaystyle y=x^2-2x-3}$ と${\displaystyle x}$ 軸${\displaystyle (y=0)}$ の交点の${\displaystyle x}$座標を求める．

${\displaystyle x^2-2x-3=0}$

${\displaystyle (x+1)(x-3)=0}$

${\displaystyle x=-1\text{,}3}$

${\displaystyle y=x^2-2x-3}$ と$x$軸で囲まれた面積は図の赤色の部分になる．

求める面積$S$は，面積の計算より

${\displaystyle S=\underset{-1}{\overset{3}{\int }}\left\{0-(x^2-2x-3)\right\}\mathrm{dx}}$

${\displaystyle ={\left[-\left(\frac{x^3}{3}-x^2-3x\right)\right]}_{-1}^3}$

${\displaystyle =-\left[\left(\frac{3^3}{3}-3^2-3\cdot 3\right)\right.}$${\displaystyle \left.-\left\{\frac{{(-1)}^3}{3}-{(-1)}^2-3\cdot (-1)\right\}\right]}$

${\displaystyle =\frac{32}{3}}$

　

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学生スタッフ作成
最終更新日：2023年11月13日

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