積分を用いて面積を求める問題

■問題

曲線 $y = x^{2} - x - 1$ と直線 $y = 2 x + 3$ で囲まれた面積を求めよ．

■解説動画

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■答

$\frac{125}{6}$

■解説

$y = x^{2} - x - 1$ と $y = 2 x + 3$ の交点の $x$ 座標を求める．

$x^{2} - x - 1 = 2 x + 3$

$x^{2} - 3 x - 4 = 0$

$(x + 1) (x - 4) = 0$

$x = - 1, 4$

$y = x^{2} - x - 1$ と $y = 2 x + 3$ に囲まれた面積は図のようになる．

求める面積 $S$ は，面積の計算より

$S = \int_{- 1}^{4} \{2 x + 3 - (x^{2} - x - 1)\} d x$

$= \int_{- 1}^{4} (- x^{2} + 3 x + 4) d x$

$= {[- \frac{1}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} + 4 x]}_{- 1}^{4}$

$= - \frac{1}{3} \cdot 4^{3} + \frac{3}{2} \cdot 4^{2} + 4 \cdot 4$ $- \{- \frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} + \frac{3}{2} \cdot {(- 1)}^{2} + 4 \cdot (- 1)\}$

$= \frac{125}{6}$

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学生スタッフ作成
最終更新日：2025年11月7日