積分を用いて面積を求める問題

■問題

曲線 ${y = x}^{2} + 4 x - 3$ と曲線 $y = - x^{2} + 2 x + 1$ で囲まれた面積を求めよ．

$9$

${y = x}^{2} + 4 x - 3$ と ${y = - x}^{2} + 2 x + 1$ の交点の $x$ 座標を求める．

$x^{2} + 4 x - 3 {= - x}^{2} + 2 x + 1$

$2 x^{2} + 2 x - 4 = 0$

${2 (x}^{2} + x - 2) = 0$

$2 (x - 1) (x + 2) = 0$

$x = - 2, 1$

${y = x}^{2} + 4 x - 3$ と $y = - x^{2} + 2 x + 1$ に囲まれた面積は図のようになる．

求める面積Sは，面積の計算より

$S = \int_{- 2}^{1} \{(- x^{2} + 2 x + 1) - (x^{2} + 4 x - 3)\} d x$

$= \int_{- 2}^{1} (- 2 x^{2} - 2 x + 4) d x$

$= {[- \frac{2}{3} x^{3} - x^{2} + 4 x]}_{- 2}^{1}$

$= (- \frac{2}{3} \cdot 1^{3} - 1^{2} + 4 \cdot 1)$ $- \{- \frac{2}{3} \cdot {(- 2)}^{3} - {(- 2)}^{2} + 4 \cdot (- 2)\}$

$= 9$

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学生スタッフ作成
最終更新日：2025年4月27日