問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

回転体の重心を求める問題

■問題

直線${\displaystyle y=\frac{3}{2}x}$ と直線$x=2$と ${\displaystyle x}$ 軸で囲まれた図形を${\displaystyle }$軸の周りに${\displaystyle 1}$ 回転してできる回転体の重心 ${\displaystyle \text{G}}$の位置を求めよ．ただし，重心 の ${\displaystyle x}$ 座標を ${\displaystyle x_{\text{G}}}$ ， ${\displaystyle y}$ 座標を ${\displaystyle y_{\text{G}}}$ とする．

■答

図形の重心 G の位置は，${\displaystyle \begin{array}{ccc}\left(x_{\text{G}},y_{\text{G}}\right)& =& \left(\frac{3}{2},0\right)\end{array}}$ 

■ヒント

回転体は円錐になる．

回転体の重心の計算より

${\displaystyle x_{\text{G}}=\frac{1}{V}{\displaystyle {\int }_a^b\pi x{\left\{f\left(x\right)\right\}}^2}dx}$

の公式を用いる．

回転体の回転軸を${\displaystyle x}$ 軸としたとき，対称性から重心 ${\displaystyle \text{G}}$は${\displaystyle x}$軸上（${\displaystyle y_{\text{G}}=0}$ ）にあるため，${\displaystyle x_{\text{G}}}$だけを求めればよい．

■解説

●回転体の体積を求める．

${\displaystyle V={\displaystyle {\int }_0^2\pi {\left\{f\left(x\right)\right\}}^{2}dx}}$

（回転体の体積の求め方は，体積の計算の${\displaystyle 2}$つ目の式を参照）

${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_0^2\pi {\left(\frac{3}{2}x\right)}^{2}dx}}$

（${\displaystyle f\left(x\right)=\frac{3}{2}x}$を式に代入すた．）

${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_0^2\pi ·\frac{9}{4}{x}^{2}dx}}$

${\displaystyle =\frac{9}{4}\pi {\displaystyle {\int }_0^2{x}^{2}dx}}$

${\displaystyle =\frac{9}{4}\pi {\left[\frac{1}{3}{x}^3\right]}_0^2}$

${\displaystyle =\frac{9}{4}\pi \left\{\frac{1}{3}\left(2^3-0^3\right)\right\}}$

${\displaystyle =\frac{9}{4}\pi \left(\frac{1}{3}·8\right)}$

${\displaystyle =\frac{9}{4}\pi ·\frac{8}{3}}$

${\displaystyle =6\pi }$

●${\displaystyle x_{\text{G}}}$を求める

${\displaystyle x_{\text{G}}=\frac{1}{V}{\displaystyle {\int }_0^2\pi x{\left\{f\left(x\right)\right\}}^{2}dx}}$

（ヒントの公式を参照）

${\displaystyle =\frac{1}{6\pi }{\displaystyle {\int }_0^2\pi x{\left(\frac{3}{2}x\right)}^{2}dx}}$

（${\displaystyle V=6\pi }$ と ${\displaystyle f\left(x\right)=\frac{3}{2}x}$ を式に代入した．）

${\displaystyle =\frac{1}{6\pi }{\displaystyle {\int }_0^2\pi x·\frac{9}{4}{x}^{2}dx}}$

${\displaystyle =\frac{1}{6\pi }·\frac{9}{4}\pi {\displaystyle {\int }_0^2{x}^{3}dx}}$

${\displaystyle =\frac{3}{8}{\left[\frac{1}{4}{x}^4\right]}_0^2}$

${\displaystyle =\frac{3}{8}\left\{\frac{1}{4}\left(2^4-0^4\right)\right\}}$

${\displaystyle =\frac{3}{8}\left(\frac{1}{4}·16\right)}$

${\displaystyle =\frac{3}{8}·4}$

${\displaystyle =\frac{3}{2}}$

ここで， ${\displaystyle y_{\text{G}}}$ は，重心${\displaystyle \text{G}}$が${\displaystyle x}$軸上にあるため

${\displaystyle \begin{array}{ccc}{y}_{\text{G}}& =& 0\end{array}}$

である．

よって，図形の重心${\displaystyle \text{G}}$の位置は， ${\displaystyle \begin{array}{ccc}\left(x_{\text{G}},y_{\text{G}}\right)& =& \left(\frac{3}{2},0\right)\end{array}}$ となる．

　

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2023年11月24日

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